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河北辛集中学2023年高三第一次月考数学试题文试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.是恒成立的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.双曲线的左右焦点为,一条渐近线方程为,过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,满足,则该双曲线的离心率为()
A. B.3 C. D.2
3.函数(),当时,的值域为,则的范围为()
A. B. C. D.
4.在正方体中,点、分别为、的中点,过点作平面使平面,平面若直线平面,则的值为()
A. B. C. D.
5.函数()的图象的大致形状是()
A. B. C. D.
6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?现有这样一个相关的问题:将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列,构成一个数列,则该数列各项之和为()
A.56383 B.57171 C.59189 D.61242
7.如图网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的所有棱中最长棱的长度为()
A. B. C. D.
8.已知数列满足,(),则数列的通项公式()
A. B. C. D.
9.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为,记,则()
A. B. C. D.
10.设不等式组,表示的平面区域为,在区域内任取一点,则点的坐标满足不等式的概率为
A. B.
C. D.
11.下列函数中,在区间上为减函数的是()
A. B. C. D.
12.函数与在上最多有n个交点,交点分别为(,……,n),则()
A.7 B.8 C.9 D.10
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.三棱锥中,点是斜边上一点.给出下列四个命题:
①若平面,则三棱锥的四个面都是直角三角形;
②若,,,平面,则三棱锥的外接球体积为;
③若,,,在平面上的射影是内心,则三棱锥的体积为2;
④若,,,平面,则直线与平面所成的最大角为.
其中正确命题的序号是__________.(把你认为正确命题的序号都填上)
14.已知实数、满足,且可行域表示的区域为三角形,则实数的取值范围为______,若目标函数的最小值为-1,则实数等于______.
15.已知直线被圆截得的弦长为2,则的值为__
16.如图所示梯子结构的点数依次构成数列,则________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知数列是各项均为正数的等比数列,数列为等差数列,且,,.
(1)求数列与的通项公式;
(2)求数列的前项和;
(3)设为数列的前项和,若对于任意,有,求实数的值.
18.(12分)已知六面体如图所示,平面,,,,,,是棱上的点,且满足.
(1)求证:直线平面;
(2)求二面角的正弦值.
19.(12分)的内角,,的对边分别为,,,其面积记为,满足.
(1)求;
(2)若,求的值.
20.(12分)(1)已知数列满足:,且(为非零常数,),求数列的前项和;
(2)已知数列满足:
(ⅰ)对任意的;
(ⅱ)对任意的,,且.
①若,求数列是等比数列的充要条件.
②求证:数列是等比数列,其中.
21.(12分)某商场为改进服务质量,随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查.调查后,就顾客“购物体验”的满意度统计如下:
满意
不满意
男
40
40
女
80
40
(1)是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?
(2)为答谢顾客,该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动.据统计,在此期间顾客购买该商品的支付情况如下:
支付方式
现金支付
购物卡支付
APP支付
频率
10%
30%
60%
优惠方式
按9折支付
按8折支付
其中有1/3的顾客按4折支付,1/2的顾客按6折支付,1/6的顾客按8折支付
将上述频率作为相应事件发生的概率,记某顾客购买一件该促销商品所支付的金
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