2025届高考数学试卷专项练习02不等式计数原理含解析.docVIP

不等式计数原理

一、单选题

1．（2024·江苏常州市·高三一模）若则满意的x的取值范围是（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

按或0，，和四种状况，分别化简解出不等式，可得x的取值范围．

【详解】

①当或0时，成立；

②当时，，可有，解得；

③当且时，

若，则，解得

若，则，解得

所以

则原不等式的解为，

故选：B

2．（2024·湖南衡阳市·高三一模）设，，则，，的大小关系为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由已知得且，然后结合基本不等式与中间值1比较，用不等式的性质比较大小可得．

【详解】

易知：,，，，明显成立.

所以．

故选：C．

3．（2024·全国高三二模（理））若实数，满意约束条件，则的最小值为（）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【解析】

先画出可行域，表示可行域内的点到原点的距离的平方加1，由图可知最近的距离为到直线的距离，从而可得答案

【详解】

如图1，作出平面区域可知：的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方加1，

所以最近的距离为到直线的距离，

所以的最小值为，

故选：C.

4．（2024·河北唐山市·高三二模）不等式的解集是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

在同一坐标系中作出函数的图象，先求得的解，然后由图象写出的解集.

【详解】

再同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：

当时，解得，

由图象知：的解集是

故选：B

二、多选题

5．（2024·山东淄博市·高三一模）已知，，且，则下列结论正确的是（）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】

利用特别值解除BD选项，利用幂函数、指数函数、对数函数的性质证明AC选项正确.

【详解】

取，则，，所以B选项错误.

取，则，所以D选项错误.

由于在上递减，且，所以，所以A选项正确.

由于，所以；由于，所以，

由于在上递增，所以，故C选项正确.

故选：AC

6．（2024·辽宁沈阳市·高三一模）若，则使成立的充要条件是（）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】

利用不等式的基本性质和充要条件的定义推断.

【详解】

，B选项正确；

则肯定不成立，C选项错误；

，D选项正确.

故选：ABD

7．（2024·江苏高三专题练习）已知，且，则（）．

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】

由对数函数性质可知，为单调减函数，可判定A正确；由基本不等式，可判定B错误；由指数函数和幂函数性质，可判定C错误；令的单调性，可判定D正确．

【详解】

对于A中，由，且，可得，，

由对数函数性质可知，为单调减函数，

因为，，，所以，所以A正确；

对于B中，由，，

可得，

当且仅当时，即时等号成立，因为，所以B错误；

对于C中，由，，

因为指数函数性质可知，都是单调递减函数，，

所以，所以C正确；

对于D中，令，是单调递增函数，因为，所以D正确．

故选：ACD．

8．（2024·山东临沂市·高三其他模拟）下列四个条件中，能成为的充分不必要条件的是（）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】

依据选项是的充分不必要条件，选项所给的不等式可以推出，但推不出选项所给的不等式即可．

【详解】

对于选项：若，则，则，

反之，当时得不出，

所以是的充分不必要条件，故正确；

对于B选项：由可得，即能推出；

但不能推出因为的正负不确定)，

所以是的充分不必要条件，故B正确；

对于C选项：由可得，则，不能推出；

由也不能推出(如)，

所以是的既不充分也不必要条件，故C错误；

对于D选项:若，则，反之得不出，

所以是的充分不必要条件，故选项D正确．

故选：ABD．

9．（2024·江苏盐城市·高三二模）已知，下列选项中正确的为（）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BC

【解析】

依据指数函数、对数函数的性质,不等式性质推断．

【详解】

A错，例如满意，便；

B正确，，，又，所以，而，所以；

C正确，设，，，则，，

所以，即．

D错误，，，，所以，不肯定成立．

故选：BC．

10．（2024·河北张家口市·高三一模）已知，且，则（）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】

对于A，由已知条件可得，再由指数函数的性质可得，然后给不等式两边开平方可得结果；对于B，对化简可得，两边开方可得结果；对于C，由于，化简后可得结果；对于D，由基本不等式可得，再结合已知条件可得，从而可推断D，

【详解】

对于A，因为，且，所以，所以，所以，故A正确；

对于B，，所以，当且仅当，即时取等号，故，故B正确；

对于C，，当且仅当，即时取等号，故，得，故C正确；

对于D，已知，且，所以，即，则，当且仅当，即时取等号，故D错误