2025届高考数学二轮总复习第一部分高考层级专题突破层级二7个能力专题师生共研专题七选修系列4第二讲.docVIP

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第一部分高考层级专题突破

层级二7个实力专题师生共研

专题七选修系列(4)

其次讲不等式选讲

课时跟踪检测(十九)不等式选讲

1．(2024·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)2成立．

(1)求实数m的值；

(2)若α≥1，β≥1，f(α)＋f(β)＝4，求证：eq\f(4,α)＋eq\f(1,β)≥3.

解：(1)因为|x－m|＋|x|≥|m－x＋x|＝|m|.

所以要使不等式|x－m|＋|x|2有解，则|m|2，

解得－2m2.因为m∈N*，所以m＝1.

(2)证明：因为α≥1，β≥1，

所以f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝4，

即α＋β＝3，

所以eq\f(4,α)＋eq\f(1,β)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,α)＋\f(1,β)))(α＋β)

＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(4β,α)＋\f(α,β)))

≥eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(4β,α)·\f(α,β))))＝3.

当且仅当eq\f(4β,α)＝eq\f(α,β)，即α＝2，β＝1时等号成立，

故eq\f(4,α)＋eq\f(1,β)≥3.

2．(2024·福州四校联考)(1)求不等式－2|x－1|－|x＋2|0的解集；

(2)设a，b均为正数，h＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(a))，\f(a2＋b2,\r(ab))，\f(2,\r(b))))，证明：h≥2.

解：(1)记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，x≤－2，,－2x－1，－2x1，,－3，x≥1，))

由－2－2x－10，解得－eq\f(1,2)xeq\f(1,2)，

则不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).

(2)证明：∵h≥eq\f(2,\r(a))，h≥eq\f(a2＋b2,\r(ab))，h≥eq\f(2,\r(b))，

∴h3≥eq\f(4?a2＋b2?,ab)≥eq\f(4×2ab,ab)＝8，当且仅当a＝b时取等号，

∴h≥2.

3．(2024·广东省化州市一模)已知函数f(x)＝|x－a|－2.

(1)若a＝1，求不等式f(x)＋|2x－3|0的解集；

(2)关于x的不等式f(x)|x－3|有解，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，原不等式等价于|x－1|＋|2x－3|2.

当x≥eq\f(3,2)时，3x－42，解得x2；

当1xeq\f(3,2)时，2－x2，无解；

当x≤1时，4－3x2，解得xeq\f(2,3).

∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2或x\f(2,3))))).

(2)f(x)|x－3|?|x－a|－|x－3|2.

令g(x)＝|x－a|－|x－3|，依题意知，g(x)max2.

∵g(x)＝|x－a|－|x－3|≤|(x－a)－(x－3)|＝|a－3|，

∴g(x)max＝|a－3|，

∴|a－3|2，解得a5或a1，

∴实数a的取值范围是(－∞，1)∪(5，＋∞)．

4．(2024·蓉城名校高三联考)设函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.

(1)求不等式f(x)≥2的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)≤－m2＋2m＋eq\f(9,2)的解集非空，求实数m的取值范围．

解：(1)由题意知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x，x≤－1，,－x＋2，－1x\f(1,2)，,3x，x≥\f(1,2)，))

∴原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－1，,－3x≥2))

或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1x\f(1,2)，,－x＋2≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)，,3x≥2，))

解得x≤－1或－1x≤0或x≥eq\f(2,3)，

∴原不等式的解集为(－∞，0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)).

(2)由(1)知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x，x≤－1，,－x＋2，－1x\f