2024版.新高考版 数学　变量间的相关关系、统计案例(3).pdf

高考

数学

专题十一概率与统计

11.5变量间的相关关系、统计案例

基础篇

考点一变量间的相关关系

1.线性相关

一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直

线附近,称这两个变量线性相关.

2.线性经验回归方程与最小二乘法

设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x,y),(x,y),…,

1122

(x,y),由y=bx+a+e(i=1,2,…,n),得|y-(bx+a)|=|e|,显然|e|越小,表示样本数

nniiiiiii

据点离直线y=bx+a的竖直距离越小.

通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q= 来刻画各

样本观测数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”.

当a,b的取值为

 时,

Q达到最小.将 = x+ 称为Y关于x的经验回归方程,也称经验回归函数或

经验回归公式,其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫

做最小二乘法,求得的 , 叫做b,a的最小二乘估计.

经验回归直线一定过点( , ).

3.样本相关系数r

1) .

2)r0,表示成对样本数据正相关,散点图中点的分布从左下角到右上角;r

0,表示成对样本数据负相关,散点图中点的分布从左上角到右下角.

3)|r|越接近于1,成对样本数据的线性相关程度越强.

4.刻画回归效果的方式

1)残差图法

在残差图中,残差比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状

区域内,说明选用的模型比较合适,这样的带状区域的宽度越窄,说明模型

拟合精度越高.

2)残差平方和法

2

残差平方和为 (y- ),残差平方和越小,模型拟合效果越好.i

2

3)利用R刻画拟合效

2

R=1- .

22

R越大,模型的拟合效果越好,R越小,模型的拟合效果越差.

考点二独立性检验

1.2×2列联表

假设两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x,x}和{y,y},其2×2列

1212

联表为

XY合计

y1y2

x1aba+b

x2cdc+d

合计a+cb+da+b+c+d

2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.

2.独立性检验

1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表,如表所示.

XY合计

Y=0