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课时作业44空间几何体的表面积与体积
一、选择题
1.(2024·湖南长沙模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是(C)
A.16+8eq\r(3) B.16+4eq\r(3)
C.48+8eq\r(3) D.48+4eq\r(3)
解析:依据三视图知,该几何体是底面为等边三角形,高为4的直三棱柱,画出几何体的直观图,如图所示,结合图中数据,计算它的表面积是S=2×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×4+3×4×4=48+8eq\r(3).
2.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为(B)
A.eq\f(16,3)π B.eq\f(32,3)π
C.16π D.24π
解析:设球的半径为R,则S=4πR2=16π,解得R=2,则球的体积V=eq\f(4,3)πR3=eq\f(32,3)π.
3.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为(B)
A.eq\r(6) B.eq\r(7)
C.2eq\r(2) D.3
解析:设新的底面半径为r,由题意得eq\f(1,3)πr2·4+πr2·8=eq\f(1,3)π×52×4+π×22×8,解得r=eq\r(7).
4.(2024·江西联考)《算术书》竹简于上世纪八十年头在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典著,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V=eq\f(1,36)l2h,它事实上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3,那么,近似公式V≈eq\f(25,942)l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取(C)
A.eq\f(22,7) B.eq\f(25,8)
C.eq\f(157,50) D.eq\f(355,113)
解析:V=eq\f(1,3)πr2h=eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))2h=eq\f(1,12π)l2h,由eq\f(1,12π)≈eq\f(25,942),得π≈eq\f(157,50),故选C.
5.(2024·合肥质检)我国古代名著《张丘建算经》中记载:“今有方锥,下广二丈,高三丈.欲斩末为方亭,令上方六尺.问:斩高几何?”大致意思是:有一个正四棱锥下底边长为二丈,高三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台,且正四棱台的上底边长为六尺,则截去的正四棱锥的高是多少.假如我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积,则该正四棱台的体积是(注:1丈=10尺)(B)
A.1946立方尺 B.3892立方尺
C.7784立方尺 D.11676立方尺
解析:解法1:如图,记正四棱台为A1B1C1D1-ABCD.该正四棱台由正四棱锥S-ABCD截得,O为正方形ABCD的中心,E为BC的中点,E1为B1C1的中点,设正四棱台的高为x,则由图中△SO1E1∽△SOE,得eq\f(SO1,SO)=eq\f(O1E1,OE),即eq\f(30-x,30)=eq\f(3,10),解得x=21,所以该正四棱台的体积V=eq\f(1,3)×(62+6×20+202)×21=3892(立方尺),故选B.
解法2:如解法1中图,记正四棱台为A1B1C1D1-ABCD.该正四棱台由正四棱锥S-ABCD截得,O为正方形ABCD的中心,E为BC的中点,E1为B1C1的中点,设截去的正四棱锥的高为x,则由图中△SO1E1∽△SOE,得eq\f(SO1,SO)=eq\f(O1E1,OE),即eq\f(x,30)=eq\f(3,10),解得x=9,所以该正四棱台的体积V=V正四棱锥S-ABCD-V正四棱锥S-A1B1C1D1=eq\f(1,3)×202×30-eq\f(1,3)×62×9=3892(立方尺),故选B.
6.(2024·河北九校联考)已知三棱柱ABC-A1B1C1的全部顶点都在球O的球面上,该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同,若球O
A.6eq\r(3) B.12
C.12eq\r(3) D.18
解析:设球O的半径为R,则由4πR2=20π得R2=5,由题意知,此三棱柱为正三棱柱,且底面三角形的外接圆与侧面的外接圆大小相同,故设三棱柱的底面边长为a,高为h,如图,取三角形ABC的中心O1,四边形BCC1B1的中心O2,连接O
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