同济大学《高等数学》第五版上册答案（最全）.doc

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练习5-4

1.判别下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值：

①

解因为

所以反常积分收敛，且

解因为

解因为所以反常积分发散

解因

解因为所以反常积分收敛，且

解因

解因为

所以反常积分收敛，且

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所以

解

。~

。~

解这是无界函数的反常积分，x=1是被积函数的瑕点

解这是无界函数的反常积

解这是无界函数的反常积分，x=1是被积函数的瑕点.因为

而所以反常积分发散

解这是无界函数的反常积分，x=1是被积函数的瑕点

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解这是无界函数的反常积分，x=e是被积函数的瑕点

2.当k为何值时，反常积收敛?当k为何值时，这反常积分发散?又当k为何值时，这反常积分取得最小值?

解当k1时，当k=1时，

当k1时，

因此当k1时，反常积分收敛；当k≤1时，反常积分

发散.

当k1时，则

。令f(k)=0得唯一驻点

。

因为当时f(x)0,当时f(kt)0,所以为极小值点，同时也是最小值点，即当时，这反常积分

取得最小值

。3.利用递推公式计算反常积

。

解因为

所以I=n-(n-1)·(n-2)…2·I?.

又因为所以I=n-(n-1)·(n-2)…2·I?=n!

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总习题五

1.填空：

(1)函数f(x)在[a,b]上(常义)有界是f(x)在[a,b]上可积的条件，而(x)在[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上可积的条件；

答

答必要,充分

(2)对[a,+o]上非负、连续的函数f(x),它的变上限积

在[a,+]上有界是反常积分收敛的条件；

答

答充分.

(3)绝对收敛的反常积分

答

答收敛.

(4)函数f(x)在[a,b]上有定义且Jf(x)在[a,b]上可积，此时积分存在

答

答不一定.

2.计算下列极限：

解

解

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解

寸,其中f(x)连续；

寸

解由洛必达法则

解

3.下列计算是否正确，试说明理由：

解计算不正确，因

解计算不正确，因上不连续.

所以(2)因为

所以

解计算不正确，因为

解计算不正确，因为在[-1,1]上不连续.

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解不正确，因为

4.设p0,证明

证明

因为

.(Q-x)=(x-)-而

.(Q-x)=(x-)-

所以

5.设f(x)、g(x)在区间[a,b]上均连续，证明：

证明因为[f(x)-Ag(x)]2≥0,所以

证明因为[f(x)-Ag(x)]2≥0,所以2g2(x)-2Af(x)g(x)+f(x)≥0,

从而

上式的左端可视为关于的二次三项式，因为此二次三项式大于等于0,所以其判别式小于等于0,即

亦即

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证明

又

所以

6.设f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)0.证明

证明已知有不等式

在此不等式中，取,g(x)=fx),则有

即

7.计算下列积分：

解

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解

令,则

所以

解令x=asint,则

则,又令

则

,

所以

解

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解

。8.设f(x)为连续函数，证明证明

。

29.设f(x)在区间[a,b]上连续，且fx)0,x∈[a,b].证明：

2

(1)F(x)≥2;

证明

(2)方程F(x)=0在区间(a,b)内有且仅有一个根.

证明因为

证明因为f(x)0,ab,所以

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由介值定理知F(x)=0在(a,b)内有根.又F(x)≥2,所以在(a,b)内仅有一个根

10.设

解

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11.设f(x)在区间[a,b]上连续，g(x)在区间[a,b]上连续且不变号证明至少存在一点x∈[a,b],使下式成立

(积分第一中值定理).

证明若

证明若g(x)=0,则结论题然成立

若g(x)≠0,因为g(x)不变号，不妨设g(x)0.

因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值M和最小值m,即m≤f(x)≤M,因此有

mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x).根据定积分的性质，有

因为f(x)在[a,b]上连续，由介值定理，存在ξ∈(a,b),使

即

练习6-2

1.求图中各画斜线部分的面积：

解画斜线部分在x轴上的投影区间为[0,1].所求的面积为

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解法一画斜线部分在x轴上的投影区间为[0,1].所求的面积为

解法二画斜线部分在y轴上的投影区间为[1,e].所求的面积