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高考
数学
专题八立体几何
8.5空间角与距离、空间向量及其应用
基础篇
考点一用向量法证明空间中的平行和垂直
设直线l,l,l的方向向量分别为v,v,v,平面α和平面β的法向量分别为m,n.
1212
1.l∥l(或l与l重合)⇔v∥v;l⊥l⇔v⊥v⇔v·v=0.
121212121212
2.与平面α共面的两个不共线向量分别为a和b,则l∥α或l⊂α⇔存在两个
实数x,y,使v=xa+yb.
3.l∥α或l⊂α⇔v⊥m;l⊥α⇔v∥m.
4.α∥β⇔m∥n;α⊥β⇔m⊥n⇔m·n=0.
考点二空间角和空间距离
1.用向量法求空间角
1)线面所成角公式:设l为平面α的斜线,a为l的方向向量,n为平面α的法向
量,θ为l与α所成的角,则sin
θ=|cosa,n|= .
2)二面角公式:设n、n分别为平面α、β的法向量,二面角为θ,则θ=n,n
1212
或θ=π-n,n(需要根据具体情况判断相等或互补),其中cosn,n=
1212
.
2.用向量法求空间距离
1)点面距离:已知平面α外一点B(x,y,z),平面α内一点A(x,y,z),平面α的一
000111
个法向量n,则点B到平面α的距离为d= .
注意:线面、面面距离均可转化为点到平面的距离,用点到平面的距离公
式求解.
2)两点间的距离:已知点A(x,y,z),B(x,y,z),则A,B两点间的距离为| |=
111222
.
综合篇
考法一求解直线与平面所成角的方法
1.定义法
1)作:在斜线上选取恰当的点,过该点向平面引垂线,作出所求角,其中确定
垂足的位置是关键;2)证:证明所作的角为直线与平面所成的角;3)求:构造
角所在的三角形,利用解三角形的知识求角.
2.公式法
sin
θ= (其中h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面α的距离,l为该点
到斜足的距离,θ为斜线与平面α所成的角).
3.向量法
sin
θ=|cos ,n|= (其中AB为平面α的斜线,n为平面α的法向量,θ
为斜线与平面α所成的角).
例1
(2021浙江,19,15分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=120°,AB=1,
BC=4,PA= ,M,N分别为BC,PC的中点,PD⊥DC,PM⊥MD.
(1)证明:AB⊥PM;
(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.
解析
(1)证明:在△CDM中,DC=1,MC=2,∠DCM=60°,则DM= ,所以CD
⊥DM.又因为CD⊥PD,所以CD⊥平面PDM.因此CD⊥PM.又因为AB∥
CD,所以AB⊥PM.
(2)解法一(定义法):连接AC交DM于点E,过E作EF∥AN交PC于点F,过点F
作FH∥CD,交PD于H,连接HE.由(1)知CD⊥平面PDM,所以FH⊥平面
PDM.故∠FEH是直线AN与平面PDM所成的角.由(1)知PM⊥CD,又已知
PM⊥MD,所以PM⊥平面ABCD.连接AM,在平行四边形ABCD中,AM= ,
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