2024版.新高考版 数学　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式（十年高考）.pdf

北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A

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专题五三角函数与解三角形

5.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱

导公式

考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式

1.(2022全国甲,8,5分)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的

“会圆术”.如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在上,CD⊥AB.“会圆术”给

2

出的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+.当OA=2,∠AOB=60°时,s=()

11−3311−439−339−43

A.B.C.D.

2222

答案B连接OC,如图.

∵C是AB的中点,OA=OB=2,∴OC⊥AB.

又∵CD⊥AB,

∴D,C,O三点共线.

∵∠AOB=60°,∴AB=2,OC=3,CD=2-3,

2

(2−3)11−43

∴s=2+2=2,故选B.

2.(2019北京,8,5分)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.

图中阴影区域的面积的最大值为()

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A.4β+4cosβB.4β+4sinβ

C.2β+2cosβD.2β+2sinβ

答案B本题主要考查扇形面积、三角形面积公式及应用;主要考查学生的推理论证能力和运算求解能

力;考查的核心素养是数学运算.

由圆的性质易知,当|PA|=|PB|时,阴影部分的面积最大,其面积为△PAB的面积与弓形的面积之和.

作PD⊥AB于D点,由∠APB=β,知∠DOB=β(O为圆心).所以|OD|=2cosβ,|PD|=2+2cosβ,|AB|=4sinβ.所以

111

2

S△PAB=·|AB|·|PD|=4sinβ(1+cosβ).S弓形=S扇形OAB-S△OAB=·2β·2-·4sinβ·2cosβ=4β-4sinβ·

222

cosβ.

故阴影部分的面积为S△PAB+S弓形=4sinβ+4sinβcosβ+4β-4sinβcosβ=4β+4sinβ.故选B.

思路分析本题阴影部分由一个三角形与一个弓形构成,当β确定时,弓形面积是确定的,故三角形面积最大

时,阴影部分面积最大.

3.(2014课标Ⅰ,2,5分)若tanα0,则()

A.sinα0B.cosα0

C.sin2α0D.cos2α0

答案C由tanα0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,则A,B错;由sin2α=2sinαcosα知

π12