2024版.新高考版 数学　椭圆及其性质(131).pdf

高考

数学

专题九平面解析几何

9.2椭圆及其性质

基础篇

考点一椭圆的定义及标准方程

1.定义

把平面内与两定点F、F的距离之和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹叫

1212

做椭圆.

2.标准方程

焦点在x轴上: + =1(ab0);

焦点在y轴上: + =1(ab0).

3.焦点三角形

1)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,F,F为椭圆的两焦点,则

12

2

 =btan ,其中θ为∠FPF.△PFF的周长为2(a+c).

1212

2)过焦点F的弦AB与椭圆另一个焦点F构成的△ABF的周长为4a.

122

考点二椭圆的几何性质

1.椭圆的几何性质

焦点在x轴上焦点在y轴上

标准

 + =1(ab0) + =1(ab0)

方程

图形

焦点F(-c,0),F(c,0)F(0,-c),F(0,c)

1212

坐标

对称关于x轴、y轴对称,关于原点对称

性

顶点A(-a,0),A(a,0),B(0,-b),B(0,b)A(0,-a),A(0,a),B(-b,0),B(b,0)

12121212

坐标

范围|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a

长轴、长轴AA长为2a,短轴BB长为2b

1212

短轴

离心椭圆的焦距与长轴长的比e= 

率

2.常用结论

1)设P,A,B是中心在原点,焦点在x轴上的椭圆上不同的三点,其中A,B两点

关于原点对称,且直线PA、PB的斜率都存在,则kk=- .

PAPB

2)P是椭圆上一点,F为椭圆的焦点,则|PF|∈[a-c,a+c],即椭圆上的点到焦

点距离的最大值为a+c,最小值为a-c.

3)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为 ,通径是最短的焦点弦.

考点三直线与椭圆的位置关系

1.位置关系的判断

若把椭圆方程 + =1(ab0)与直线方程y=kx+m(k≠0)联立,消去y,整理

2

成Ax+Bx+