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高考
数学
专题九平面解析几何
9.5圆锥曲线的综合问题
基础篇
考法一求轨迹方程
1.求轨迹方程的基本步骤
1)建立适当的平面直角坐标系,设轨迹上任一点的坐标为M(x,y);
2)列出动点所满足的几何等量关系式;
3)选用合适的公式表示几何等量关系;
4)化简整理等量关系式得到一个方程;
5)证明所得方程为所求曲线的轨迹方程.
通常将步骤简记为:建系设点、列式、代换、化简、检验.
2.求轨迹方程的基本方法
1)直接法:直译法、待定系数法、几何法、定义法;
2)间接法:相关点法、参数法、交轨法.
例1
(2019课标Ⅱ,21,12分)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM
与BM的斜率之积为- .记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;
(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,
连接QE并延长交C于点G.
(i)证明:△PQG是直角三角形;
(ii)求△PQG面积的最大值.
解析
(1)由题设得 · =- ,化简得 + =1(|x|≠2),所以C为中心
在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左、右顶点.
(2)(i)证明:设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k0).
由 得x=± .记u= ,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是
22222
直线QG的斜率为 ,方程为y= (x-u).由 得(2+k)x-2ukx+ku-
8=0.①设G(x,y),则-u和x是方程①的解,故x= ,由此得y= .
GGGGG
从而直线PG的斜率为 =- .所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三
角形.
(ii)由(i)得|PQ|=2u ,|PG|= ,所以△PQG的面积S= |PQ||PG|
= = .设t=k+ ,则由k0得t≥2,当且仅当k=1时取
等号.因为S= 在[2,+∞)单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,
最大值为 .
因此,△PQG面积的最大值为 .
考法二定值与定点问题
定值问题的解决思路是“变量⇒函数⇒定值”,定点问题的解决分
为“特殊⇒一般”法和“直接推理、计算”法.
例2
(2021济南二模,21)已知椭圆C: + =1(ab0)的离心率为 ,且
经过点H(-2,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P(-3,0)的直线与椭圆C相交于A,B两点,直线HA,HB分别交x轴于M,
N两点,点G(-2,0),若 =λ , =μ ,求证: + 为定值.
22
解析
(1)由题意知e= = = ,则a=2b,又椭圆C经过点H(-2,1),所
22
以 + =1.联立解得a=6,b=3,所以椭圆C的方程为 + =1.
(2)证明:显然,直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my-3,A(x,y),
11
B(x,y),
22
222
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