2024版.新高考版 数学　直线和圆（十年高考）.pdf

北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A

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专题九平面解析几何

9.1直线与圆

考点一直线的方程

1.(2014四川文,9,5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点

P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()

A.[5,25]B.[10,25]

C.[10,45]D.[25,45]

答案B直线x+my=0过定点A(0,0),直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3).

①当m=0时,过定点A的直线方程为x=0,过定点B的直线方程为y=3,两条直线互相垂直,此时P(0,3),∴

|PA|+|PB|=4.

11

②当m≠0时,直线x+my=0的斜率为-,直线mx-y-m+3=0的斜率为m.∵-×m=-1,∴两条直线互相垂直,即

点P可视为以AB为直径的圆上的点.当点P与点A或点B重合时,|PA|+|PB|有最小值10.当点P不与点

222

A,点B重合时,△PAB为直角三角形,且|PA|+|PB|=|AB|=10.由不等式性质知|PA|+|PB|≤2

22

||+|PB|=25,∴|PA|+|PB|∈[10,25].

2

综合①②得|PA|+|PB|∈[10,25].

评析本题考查直线的方程、两直线垂直及不等式的性质,解答本题的关键是找到点P的轨迹.属中档题.

2.(2013湖南理,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出

发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于()

84

A.2B.1C.D.

33

答案D以AB为x轴,AC为y轴建立如图所示的坐标系,由题可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的

方程为x+y-4=0.

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设P(t,0)(0t4),由对称知识可得点P关于直线BC的对称点P的坐标为(4,4-t),点P关于y轴的对称点

1

P的坐标为(-t,0),根据反射定理可知PP就是光线RQ所在直线.由P、P两点坐标可得直线PP的方程

2121212

44

−44444−4

为y=4+(x+t),设△ABC的重心为G,易知G(,).因为重心G(,)在光线RQ上,所以有