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导数章节知识题型全归纳
专题04导数研究函数零点个数和求参
例:1.已知曲线与曲线有且只有两个公共点,则实数a的取值范围为()
A. B. C. D.
2.已知函数,则以下结论不正确个数的是()
①在上单调递增
②
③方程有实数解
④存在实数,使得方程有4个实数解
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
变式:1.已知函数的图象过点,若关于的方程有3个不同的实数根,则的取值范围是()
A. B. C. D.
2.已知定义在上的函数,其导函数的大致图象如图所示,则下列叙述正确的个数为()
①函数的值域为;
②函数在上递增,在上递减;
③的极大值点为,极小值点为;
④有两个零点.
A.0 B.1 C.2 D.3
4.1导数研究函数零点个数证明:
例:1.已知函数.
(1)判断函数f(x)在上的零点个数,并说明理由;
2.已知函数.
(1)判断函数的单调性,并证明有且仅有一个零点:
3.函数.
(1)求证:有且仅有两个极值点;
变式:1.设函数,,(为参数).
(1)当时,求的单调区间,并证明有且只有两个零点;
2.已知函数.
(1)求证:当时,函数存在唯一的极小值点;
3.已知函数,.
(1)证明:有且仅有一个零点;
4.函数.
(1)讨论函数的极值;
(2)当时,求函数的零点个数.
5.已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)令,当时,证明∶函数有2个零点.
4.2导数中的极值点偏移问题:
例:1.已知函数,.
(1)若方程存在两个不等的实根,,求a的取值范围;
(2)满足(1)问的条件下,证明:.
2.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,若关于的方程有两个实数根,,且,求证:.
3.已知函数.
(1)若曲线在处的切线与直线垂直,求函数在最大值;
(2)当时,设函数的两个零点为,试证明:.
变式:1..已知函数有两个零点,.
(1)求a的取值范围;
(2)求证:.
2.已知函数().
(1)若,求函数在处的切线;
(2)若有两个零点,,求实数的取值范围,并证明:.
3.已知函数.
(1)当时,判断函数的单调性;
(2)若关于的方程有两个不同实根,求实数的取值范围,并证明.
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导数章节知识题型全归纳
专题04导数研究函数零点个数和求参
例:1.已知曲线与曲线有且只有两个公共点,则实数a的取值范围为()
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
将问题转化为与有且仅有两个交点,利用导数可求得的单调性和最值,由此可确定图象,利用数形结合的方式可求得的范围.
【详解】
与有且仅有两个公共点等价于方程在上有且仅有两个不等实根,
时,,,
令,可知与有且仅有两个交点,
,
令,则,
在上单调递增,又,
当时,;当时,;
当时,;当时,;
在上单调递增,在上单调递减,;
又时,;时,,可得图象如下图所示:
则当时,与有且仅有两个交点,即与有且仅有两个公共点.
故选:A.
【点睛】
方法点睛:已知两函数交点个数,可将问题转化为根据函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题,常用的方法有:
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.
2.已知函数,则以下结论不正确个数的是()
①在上单调递增
②
③方程有实数解
④存在实数,使得方程有4个实数解
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【分析】
对求导,由导函数的符号可判断的单调性,即可判断选项①;
由,以及的单调性即可判断选项②;
令,由零点存在定理可判断选项③;
等价于,有一个根为,所以原方程有4个根等价于方程有个实数解,令,对求导判断单调性,作出函数图象,数形结合即可判断选项④.
【详解】
由可得,
由可得:,由可得:,
所以在单调递减,在单调递增,故选项①不正确;
对于选项②:,根据在单调递增,
所以,故选项②正确;
对于选项③:令,因为,
,,根据零点存在定理可知存在使得,所以方程有实数解,故选项③正确;
对于选项④:方程即,有一根为,所以原方程有4个根等价于方程有个实数解,
令,则,
令可得或,
令可得,
所以在和单调递增,在单调递减,
,
作出的图形如图所示:
所以存在时,方程有个实数解,此时方程有4个实数解,故选项④正确.
故选:A
【点睛】
方法点睛:利用导数研究函数单调性的方法:
(1)确定函数的定义域;求导函数,由(或)解出相应的的范围,对应的区间为的增区间(或减区间);
(2)确定
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