高考数学导数知识题型全归纳专题04导数研究函数零点个数和求参(原卷版+解析).docxVIP

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导数章节知识题型全归纳

专题04导数研究函数零点个数和求参

例：1．已知曲线与曲线有且只有两个公共点，则实数a的取值范围为（）

A． B． C． D．

2．已知函数，则以下结论不正确个数的是（）

①在上单调递增

②

③方程有实数解

④存在实数，使得方程有4个实数解

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

变式：1．已知函数的图象过点，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

2．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的个数为（）

①函数的值域为；

②函数在上递增，在上递减；

③的极大值点为，极小值点为；

④有两个零点.

A．0 B．1 C．2 D．3

4.1导数研究函数零点个数证明：

例：1．已知函数.

（1）判断函数f(x)在上的零点个数，并说明理由；

2．已知函数．

（1）判断函数的单调性，并证明有且仅有一个零点：

3．函数.

（1）求证：有且仅有两个极值点；

变式：1．设函数，，（为参数）．

（1）当时，求的单调区间，并证明有且只有两个零点；

2．已知函数.

（1）求证：当时，函数存在唯一的极小值点；

3．已知函数，.

（1）证明：有且仅有一个零点；

4．函数.

（1）讨论函数的极值；

（2）当时，求函数的零点个数.

5．已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）令，当时，证明∶函数有2个零点.

4.2导数中的极值点偏移问题：

例：1．已知函数，.

（1）若方程存在两个不等的实根，，求a的取值范围；

（2）满足（1）问的条件下，证明：.

2．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若关于的方程有两个实数根，，且，求证：.

3．已知函数．

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求函数在最大值；

（2）当时，设函数的两个零点为，试证明：．

变式：1.．已知函数有两个零点，.

（1）求a的取值范围；

（2）求证：.

2．已知函数（）.

（1）若，求函数在处的切线；

（2）若有两个零点，，求实数的取值范围，并证明：.

3．已知函数．

（1）当时，判断函数的单调性；

（2）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明．

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导数章节知识题型全归纳

专题04导数研究函数零点个数和求参

例：1．已知曲线与曲线有且只有两个公共点，则实数a的取值范围为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

将问题转化为与有且仅有两个交点，利用导数可求得的单调性和最值，由此可确定图象，利用数形结合的方式可求得的范围.

【详解】

与有且仅有两个公共点等价于方程在上有且仅有两个不等实根，

时，，，

令，可知与有且仅有两个交点，

，

令，则，

在上单调递增，又，

当时，；当时，；

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，；

又时，；时，，可得图象如下图所示：

则当时，与有且仅有两个交点，即与有且仅有两个公共点.

故选：A.

【点睛】

方法点睛：已知两函数交点个数，可将问题转化为根据函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，常用的方法有：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

2．已知函数，则以下结论不正确个数的是（）

①在上单调递增

②

③方程有实数解

④存在实数，使得方程有4个实数解

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】

对求导，由导函数的符号可判断的单调性，即可判断选项①；

由，以及的单调性即可判断选项②；

令，由零点存在定理可判断选项③；

等价于，有一个根为，所以原方程有4个根等价于方程有个实数解，令，对求导判断单调性，作出函数图象，数形结合即可判断选项④.

【详解】

由可得，

由可得：，由可得：，

所以在单调递减，在单调递增，故选项①不正确；

对于选项②：，根据在单调递增，

所以，故选项②正确；

对于选项③：令，因为，

，，根据零点存在定理可知存在使得，所以方程有实数解，故选项③正确；

对于选项④：方程即，有一根为，所以原方程有4个根等价于方程有个实数解，

令，则，

令可得或，

令可得，

所以在和单调递增，在单调递减，

，

作出的图形如图所示：

所以存在时，方程有个实数解，此时方程有4个实数解，故选项④正确.

故选：A

【点睛】

方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：

（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；

（2）确定