高考真题+知识总结+方法总结+题型突破(18解析几何中的双曲线问题专题练习(学生版+解析).docxVIP

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近年高考真题+优质模拟题汇编(全国通用)

专题18解析几何中的双曲线问题

【高考真题】

1．(2022·北京)已知双曲线的渐近线方程为，则__________．

2．(2022·全国甲理)若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．

3．(2022·全国甲文)记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无

公共点”的e的一个值______________．

4．(2022·全国乙理)双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C

的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为()

A．B．C．D．

5．(2022·浙江)已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点

，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．

【知识总结】

1．双曲线的定义

(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．

(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(02a|F1F2|)．

(3)焦点：两个定点F1，F2．

(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|．

2．双曲线的标准方程和简单几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)

eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a0，b0)

图形

性质

焦点

F1(－c，0)，F2(c，0)

F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距

|F1F2|＝2c

范围

x≤－a或x≥a，y∈R

y≤－a或y≥a，x∈R

对称性

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点

A1(－a，0)，A2(a，0)

A1(0，－a)，A2(0，a)

轴

实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b

离心率

e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)

渐近线

y＝±eq\f(b,a)x

y＝±eq\f(a,b)x

a，b，c的关系

c2＝a2＋b2(ca0，cb0)

【题型突破】

题型一双曲线的标准方程

1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝eq\f(\r(5),2)x，且与椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1

有公共焦点，则C的方程为()

A．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,10)＝1B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C．eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1

2．(2016·天津)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的焦距为2eq\r(5)，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂

直，则双曲线的方程为()

A．eq\f(x2,4)－y2＝1B．x2－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(3x2,20)－eq\f(3y2,5)＝1D．eq\f(3x2,5)－eq\f(3y2,20)＝1

3．(2018·天津)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于

A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()

A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1B．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1D．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1

4．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边

三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()

A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1B．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,3)－y2＝1D．x2－eq\f(y2,3)＝1

5．已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相

交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()

A．eq\f(x2,4)－eq\f(3y2