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近年高考真题+优质模拟题汇编(全国通用)
专题18解析几何中的双曲线问题
【高考真题】
1.(2022·北京)已知双曲线的渐近线方程为,则__________.
2.(2022·全国甲理)若双曲线的渐近线与圆相切,则_________.
3.(2022·全国甲文)记双曲线的离心率为e,写出满足条件“直线与C无
公共点”的e的一个值______________.
4.(2022·全国乙理)双曲线C的两个焦点为,以C的实轴为直径的圆记为D,过作D的切线与C
的两支交于M,N两点,且,则C的离心率为()
A.B.C.D.
5.(2022·浙江)已知双曲线的左焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线于点
,交双曲线的渐近线于点且.若,则双曲线的离心率是_________.
【知识总结】
1.双曲线的定义
(1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.
(2)符号表示:||MF1|-|MF2||=2a(常数)(02a|F1F2|).
(3)焦点:两个定点F1,F2.
(4)焦距:两焦点间的距离,表示为|F1F2|.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a0,b0)
eq\f(y2,a2)-eq\f(x2,b2)=1(a0,b0)
图形
性质
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
焦距
|F1F2|=2c
范围
x≤-a或x≥a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
轴
实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b,实半轴长:a,虚半轴长:b
离心率
e=eq\f(c,a)∈(1,+∞)
渐近线
y=±eq\f(b,a)x
y=±eq\f(a,b)x
a,b,c的关系
c2=a2+b2(ca0,cb0)
【题型突破】
题型一双曲线的标准方程
1.(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=eq\f(\r(5),2)x,且与椭圆eq\f(x2,12)+eq\f(y2,3)=1
有公共焦点,则C的方程为()
A.eq\f(x2,8)-eq\f(y2,10)=1B.eq\f(x2,4)-eq\f(y2,5)=1C.eq\f(x2,5)-eq\f(y2,4)=1D.eq\f(x2,4)-eq\f(y2,3)=1
2.(2016·天津)已知双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a0,b0)的焦距为2eq\r(5),且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂
直,则双曲线的方程为()
A.eq\f(x2,4)-y2=1B.x2-eq\f(y2,4)=1C.eq\f(3x2,20)-eq\f(3y2,5)=1D.eq\f(3x2,5)-eq\f(3y2,20)=1
3.(2018·天津)已知双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于
A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()
A.eq\f(x2,4)-eq\f(y2,12)=1B.eq\f(x2,12)-eq\f(y2,4)=1C.eq\f(x2,3)-eq\f(y2,9)=1D.eq\f(x2,9)-eq\f(y2,3)=1
4.已知双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边
三角形(O为原点),则双曲线的方程为()
A.eq\f(x2,4)-eq\f(y2,12)=1B.eq\f(x2,12)-eq\f(y2,4)=1C.eq\f(x2,3)-y2=1D.x2-eq\f(y2,3)=1
5.已知双曲线eq\f(x2,4)-eq\f(y2,b2)=1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相
交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()
A.eq\f(x2,4)-eq\f(3y2
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