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专题5导数及其应用
第一部分真题分类
一、单选题
1.(2021·全国高考真题)若过点可以作曲线的两条切线,则()
A. B.
C. D.
2.(2021·全国高考真题(理))设,若为函数的极大值点,则()
A. B. C. D.
3.(2020·全国高考真题(理))若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切,则l的方程为()
A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+
4.(2020·全国高考真题(理))函数的图像在点处的切线方程为()
A. B.
C. D.
5.已知曲线在点处的切线方程为,则()
A. B. C. D.
6.已知,设函数若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围为()
A. B. C. D.
二、填空题
7.(2021·全国高考真题(理))曲线在点处的切线方程为__________.
8.(2021·全国高考真题)函数的最小值为______.
9.(2020·江苏高考真题)在平面直角坐标系xOy中,已知,A,B是圆C:上的两个动点,满足,则△PAB面积的最大值是__________.
10.(2020·全国高考真题(文))设函数.若,则a=_________.
11.(2020·全国高考真题(文))曲线的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为______________.
12.在平面直角坐标系中,P是曲线上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
三、解答题
13.(2021·北京高考真题)已知函数.
(1)若,求在处切线方程;
(2)若函数在处取得极值,求的单调区间,以及最大值和最小值.
14.(2021·全国高考真题)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)设,为两个不相等的正数,且,证明:.
15.(2021·全国高考真题(文))设函数,其中.
(1)讨论的单调性;
(2)若的图像与轴没有公共点,求a的取值范围.
16.(2021·浙江高考真题)设a,b为实数,且,函数
(1)求函数的单调区间;
(2)若对任意,函数有两个不同的零点,求a的取值范围;
(3)当时,证明:对任意,函数有两个不同的零点,满足.
(注:是自然对数的底数)
17.(2021·全国高考真题(理))已知且,函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)若曲线与直线有且仅有两个交点,求a的取值范围.
18.(2021·全国高考真题(理))设函数,已知是函数的极值点.
(1)求a;
(2)设函数.证明:.
19.(2021·全国高考真题(理))已知抛物线的焦点为,且与圆上点的距离的最小值为.
(1)求;
(2)若点在上,是的两条切线,是切点,求面积的最大值.
20.(2020·全国高考真题(理))设函数,曲线在点(,f())处的切线与y轴垂直.
(1)求b.
(2)若有一个绝对值不大于1的零点,证明:所有零点的绝对值都不大于1.
21.(2020·全国高考真题(文))已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有三个零点,求的取值范围.
22.(2020·全国高考真题(理))已知函数.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≥x3+1,求a的取值范围.
23.(2020·全国高考真题(理))已知函数f(x)=sin2xsin2x.
(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性;
(2)证明:;
(3)设n∈N*,证明:sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
第二部分模拟训练
一、单选题
1.已知函数,,若方程有2不同的实数解,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
2.已知是定义在上的函数,为的导函数,且满足,则下列结论中正确的是()
A.恒成立 B.恒成立
C. D.当时,;当时,
3.已知定义在上的函数满足恒成立(其中为函数的导函数),对于任意实数,,下列不等式一定正确的是()
A. B.
C. D.
4.设函数是奇函数的导函数,当时,,则使得成立的的取值范围是()
A. B.C.D.
二、解答题
5.已知函数,.
(1)若曲线在处的切线与直线垂直,求实数的值;
(2)设,若对任意两个不等的正数,,都有恒成立,求实数的取值范围;
(3)若上存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
专题5导数及其应用
第一部分真题分类
一、单选题
1.(2021·全国高考真题)若过点可以作曲线的两条切线,则()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在曲线上任取一点,对函数求导得,
所以,曲线在点处的切线方程为,即,
由题意可知,点在直线上,可得,
令,则.
当时,,此时函数单调递增,
当时,,此时函数单调递减,
所以,,
由题意可知,直线与曲线的图象有两个交点,则
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