五年级奥数专题 容斥原理(学生版).pdfVIP

容斥原理

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知识定位

容斥原理中的知识点比较简单,是计数问题中比较浅的一支。这个知识点经常和

数论知识结合出综合型题目。这个原理本身并不是很难理解,不过经常和数论知

识结合出题,所以对学生的理解层次要求较高,学生必须充分理解、吃透。

1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念

2.利用图形分析解决容斥原理问题

知识梳理

授课批注：

本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透,这个原理本身并不是很难理解,不过经常和数论

知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。

一.容斥原理的概念

定义

在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A

的元素个数。求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数

相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个

数,

用式子可表示成：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|,

我们称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理。图示如右:A

表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记

为：A∩B,即阴影面积。

用法：

包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数,可

分以下两步进行：

第一步：分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来,即先求|A|+|B|（意思是把A、

B的一切元素都“包含”进来,加在一起）；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C=|A∩B|（意思是“排除”

1

了重复计算的元素个数）

二.竞赛考点

1.容斥原理的基本概念

2.与数论相结合的综合型题目

例题精讲

【试题来源】

【题目】

在一个炎热的夏日,10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。其中6人买了汽水,6人买了可乐,4

人买了果汁,有3人既买了汽水又买了可乐,1人既买了汽水又买了果汁,2人既买了可乐又买

了果汁。问：

(1)三样都买的有几人？

(2)只买一样的有几人？

【试题来源】

【题目】某班有学生46人,在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现,有电子琴的22人,

两种琴都没有的14人,只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是5∶3。问：只有电子琴的有

多少人？

【试题来源】

【题目】以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？

【试题来源】

11

【题目】一次数学测验,甲答错题目总数的,乙答错3道题,两人都答错的题目是题目总数的。

46

求甲、乙都答对的题目数.

2

【试题来源】

某班有40名学生,其中有15人参加数学小组,18人参加航模小组,有10人两个小组都参

加．那么有多少人两个小组都不参加?

【试题来源】

【题目】某班45个学生参加期末考试,成绩公布后,数学得满分的有10人,数学及语文均得满

分的有3人,这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有多少人?

【试题来源】

【题目】有一根长为180厘米的绳子,从一端开始每隔3厘米作一记号,每隔4厘米也作一记

号,然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?

【试题来源】

【题目】50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1,2,3,…,49,50依次报数；

再让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向

老师的同学还有多少名?

【试题来源】

【题目】在游艺会上,有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放

奖品的规则如下：

（1）标签号为2的倍数,奖2支铅笔；

（2