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河北大名一中2022-2023学年高三下学期开学质量检测试题数学试题试卷
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为虚数单位),则z的虚部为()
A.2 B. C.4 D.
2.已知四棱锥,底面ABCD是边长为1的正方形,,平面平面ABCD,当点C到平面ABE的距离最大时,该四棱锥的体积为()
A. B. C. D.1
3.在中,角、、的对边分别为、、,若,,,则()
A. B. C. D.
4.已知函数有两个不同的极值点,,若不等式有解,则的取值范围是()
A. B.
C. D.
5.在区间上随机取一个实数,使直线与圆相交的概率为()
A. B. C. D.
6.函数在内有且只有一个零点,则a的值为()
A.3 B.-3 C.2 D.-2
7.给出下列四个命题:①若“且”为假命题,则﹑均为假命题;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③若命题,,则命题,;④设集合,,则“”是“”的必要条件;其中正确命题的个数是()
A. B. C. D.
8.已知正四面体外接球的体积为,则这个四面体的表面积为()
A. B. C. D.
9.已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于,则的最大值为
A. B. C. D.
10.已知的部分图象如图所示,则的表达式是()
A. B.
C. D.
11.已知函数,若曲线在点处的切线方程为,则实数的取值为()
A.-2 B.-1 C.1 D.2
12.数列满足:,则数列前项的和为
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.复数为虚数单位)的虚部为__________.
14.某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积是_____;最长棱的长度是_____.
15.四边形中,,,,,则的最小值是______.
16.在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上,则实数的值为________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,已知椭圆经过点,且离心率,过右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的右顶点为,线段的中点为,记直线的斜率分别为,求证:为定值.
18.(12分)已知在中,内角所对的边分别为,若,,且.
(1)求的值;
(2)求的面积.
19.(12分)某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉,观景喷泉的示意图如图所示,两点为喷泉,圆心为的中点,其中米,半径米,市民可位于水池边缘任意一点处观赏.
(1)若当时,,求此时的值;
(2)设,且.
(i)试将表示为的函数,并求出的取值范围;
(ii)若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时,观赏角度的最大值不小于,试求两处喷泉间距离的最小值.
20.(12分)已知矩阵,且二阶矩阵M满足AM?B,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.
21.(12分)(某工厂生产零件A,工人甲生产一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分别为,工人乙生产一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分别为.己知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.
(1)试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏;
(2)为鼓励工人提高技术,工厂进行技术大赛,最后甲乙两人进入了决赛.决赛规则是:每一轮比赛,甲乙各生产一件零件A,如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件,则该方得分1分,另一方得分-1分,如果两人生产的零件A品级一样,则两方都不得分,当一方总分为4分时,比赛结束,该方获胜.Pi+4(i=4,3,2,…,4)表示甲总分为i时,最终甲获胜的概率.
①写出P0,P8的值;
②求决赛甲获胜的概率.
22.(10分)在平面直角坐标系中,直线的的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为,直线经过点.曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)过点作直线的垂线交曲线于两点(在轴上方),求的值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.A
【解析】
对复数进行乘法运算,并计算得到,从而
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