2024-2025学年沪教版初中数学九年级（上）教案 第21章 二次函数与反比例函数21.2.2　二次函数y＝ax²+bx+c的图象和性质（第4课时）.docx

第21章二次函数与反比例函数

21.2二次函数的图象和性质

21.2.2二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质

第4课时二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质

教学目标

1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2+bx+c化成顶点式y＝a(x+h)2+k,从而确定开口方向、对称轴及顶点坐标；会画二次函数一般式y＝ax2+bx+c的图象.

2.让学生经历探索二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2+bx+c的性质.

3.能根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象确定表达式中的字母系数.

教学重难点

重点：会用配方法或公式法将一般式y＝ax2+bx+c化成顶点式y＝a(x+h)2+k,从而确定开口方向、对称轴及顶点坐标；理解二次函数y＝ax2+bx+c的性质.

难点：理解二次函数y＝ax2+bx+c的性质以及它的对称轴是直线x＝，顶点坐标是.

教学过程

复习巩固

1.你能说出函数y＝-4(x-2)2+1的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，1).

2.函数y＝-4(x-2)2+1的图象与函数y＝-4x2的图象有什么关系?

函数y＝-4(x-2)2+1的图象可以看成是将函数y＝-4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的.

3.函数y＝-4(x-2)2+1具有哪些性质?

当x＜2时，函数值y随x的增大而增大；

当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；

当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1.

教师：不画出图象，你能直接说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?引出课题，并板书.

导入新课

【活动1】画出二次函数的图象.

问题1：怎样画的图象较简单？

用一般式通过列表、描点、连线的方式画图较麻烦，而将一般式化为顶点式再画图相对较简单.

问题2：将一般式y＝ax2+bx+c化为顶点式y＝a(x+h)2+k，需要用配方法，配方法的步骤你还记得吗？

“一提”“二配”“三化”

例1画出二次函数y＝-2(x+2)2+1的图象.

【解】列表：

x

…

-2

-1

0

…

y＝-2(x+2)2+1

…

1

-1

-7

…

描点、连线，如图.

问题3：你能说出y＝-2(x+2)2+1的对称轴及顶点坐标吗？

问题4：二次函数y＝-2(x+2)2+1的图象可以看做是由y＝-2x2的图象怎样平移得到的？

例2画出函数的图象，并说明这个函数具有哪些性质？

【解】如图.

【思考】以上所讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质.那么，对于任意一个二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?

【活动2】教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识(对于推导过程有困难的情况，教师要板书示范).

y＝ax2+bx+c＝a(x2+x)+c

＝a[x2+x+()2-()2]+c

＝a[x2+x+()2]+c-

＝a(x+)2+.

当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下.

对称轴是直线x＝-，顶点坐标是(-，).

【活动3】二次函数表达式中的字母系数与图象的关系

1.二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则：

a0；b0；c0；

0.

2.二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与a，b，c，的关系：

字母系数符合的条件

图象的特征

a＞0

开口___________________

a＜0

开口___________________

b＝0

对称轴为_____轴

a，b同号

对称轴在y轴的____侧

a，b异号

对称轴在y轴的____侧

c＝0

经过原点

c0

与y轴交于_____半轴

c0

与y轴交于_____半轴

课堂练习

1.根据顶点坐标公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标.

2.如图是二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴是直线x＝-1，有下列判断：①b-2a＝0；②4a-2b+c0；③a-b+c＝-9a；④若(-3，y1),(，y2)是抛物线上两点，则y1y2.其中正确的是()

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

3.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a-b＜0；③4a-2b+c＜0；④(a+c)2＜b2.其中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

参考答案

1.(1)直线x＝3；(3,-5).

(2)直线x＝8；(8,1).

(3)直线x＝1.25；

(4)直线x＝0.5；

2.B3