2024-2025学年沪教版初中数学九年级（上）教案 第21章 二次函数与反比例函数21.5　反比例函数（第2课时）.docx

第21章二次函数与反比例函数

21.5反比例函数

第2课时反比例函数的图象与性质

教学目标

1.学会用描点法作反比例函数的图象，能结合函数图象进行探索.

2.理解并掌握反比例函数的性质，会应用反比例函数的性质解决问题.

3.理解反比例函数k的几何意义，并会应用其解决问题.

教学重难点

重点：反比例函数的图象和性质，比例系数k的几何意义.

难点：应用反比例函数的性质解决问题.

教学过程

复习巩固

【问题】

1.反比例函数的概念？

一般地，表达式形如y＝(k常数，且QUOTEkk≠0)的函数叫做反比例函数.

2.你还记得作函数图象的一般步骤吗？

列表,描点,连线.

探究新知

【尝试】在坐标系中画出反比例函数y＝和y＝-的图象.

1.列表：

x

…

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

…

…

-1

-1.2

-1.5

-2

-3

-6

6

3

2

1.5

1.2

1

…

…

1

1.2

1.5

2

3

6

-6

-3

-2

-1.5

-1.2

-1

…

【思考】取值时应注意什么？

注意：

1.列表：①列表时自变量取值要均匀和对称；②x≠0；③自变量取整数，能方便计算和描点.

2.描点.

3.连线.连线时，要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性.

【问题】(小组讨论，老师引导)从上面所作的图象中，比较y＝和y＝-的图象有什么共同特征？

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.

有两条对称轴：直线y＝xQUOTEy=x和y＝-x.对称中心是：原点.

【活动】(小组讨论)1.反比例函数图象的特点：

反比例函数的图象是由两支双曲线组成的，因此称反比例函数y＝的图象为双曲线.

图象的两个分支都可以无限延伸，并无限接近x轴和y轴，但永远不与它们相交.

2.函数图象分别位于哪几个象限？

当k0QUOTE时,两支双曲线分别位于第一、三象限内；

当k0时,两支双曲线分别位于第二、四象限内.

3.反比例函数图象上点的对称性.

如果点P(x0，y0)在函数y＝的图象上，那么点P(-x0，-y0)也在函数y＝的图象上.

【归纳】列表填写：

y＝

k0

k0

图象

每一象限内，图象自左向右下降

每一象限内，图象自左向右上升

性质

函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小

函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大

【问题】(小组讨论)已知反比例函数y＝.

(1)如果这个函数图象经过点(-3,5),求k的值；

(2)如果这个函数图象在它所处的每个象限内,函数y随x的增大而减小,求k的取值范围.

【思考】(小组合作，老师指导)

解(1)因为函数图象经过点(-3,5),代入函数的表达式,

得5＝QUOTE,解得k＝-7.

(2)根据题意,有2k-10，

解得kQUOTE.

【反思】反比例函数图象的增减性主要由谁决定？

【练一练】已知反比例函数y＝的图象在第一、三象限，反比例函数y＝在x0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是_______.

答案：-2k3

【探究】(师生互动，总结结论)

在反比例函数y＝的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写表格：

y＝

S1的值

S2的值

S1与S2的关系

猜想与k的关系

P(2，2)，Q(4，1)

4

4

S1＝S2

S1＝S2＝k

【思考】(激发学生思考)你从中能发现什么结论？

如图，过双曲线y＝上任意一点P(x，y)分别作QUOTExx轴、QUOTEyy轴的垂线PM，PN，连接OP.

S矩形OMPN＝PM·PN＝|x|·|y|＝|x·y|.

∵y＝，∴x·y＝k，

∴S矩形OMPN＝|k|，S△OPN＝S△OPM＝.

【尝试】如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数y＝的图象的一支经过矩形对角线的交点P,则该反比例函数的表达式是()

A.y＝B.y＝C.y＝D.y＝

解析：过点P作PD⊥OB（图略）.

由反比例函数的几何意义可知，

S△OPD＝，即，解得k＝±1.

又因为反比例函数图象在第一象限，所以k0，所以k＝1,故选C.

【答案】C

课堂练习

1.函数y＝的图象在第_______象限，在每一象限内，y随x的增大而_______.

2.函数y＝的图象在第______象限，在每一象限内，y随x的增大而_______.

3.函数，当x0时，图象在第____象限，y随x的增大而_________.

4.已知函数y＝(m+1)是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是()

A.2