4.2.2一阶线性非齐次微分方程 教案 《高等数学（第三版）》（高教版）.docx

4.2.2一阶线性非齐次微分方程教案《高等数学（第三版）》（高教版）

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课程基本信息

一、课程基本信息

1.课程名称：4.2.2一阶线性非齐次微分方程

2.教学年级和班级：大学本科一年级

3.授课时间：2023年10月15日上午第3节

4.教学时数：1课时

本节课将围绕《高等数学（第三版）》（高教版）中一阶线性非齐次微分方程的相关内容进行讲解，重点介绍一阶线性非齐次微分方程的解法，包括常数变易法和积分因子法，以及应用实例。通过讲解和练习，使学生掌握一阶线性非齐次微分方程的求解方法，并能应用于实际问题中。

核心素养目标分析

本节课的核心素养目标旨在培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。通过学习一阶线性非齐次微分方程的解法，学生能够理解数学概念之间的内在联系，提升分析问题和解决问题的能力。同时，通过实例分析，学生将能够将理论知识应用于实际问题，增强数学建模和数学抽象的能力，为后续学习更复杂的数学理论打下坚实的基础。

教学难点与重点

1.教学重点

-一阶线性非齐次微分方程的定义与特点：理解方程形式y+p(x)y=q(x)中各部分的含义，特别是p(x)和q(x)对解的影响。

-常数变易法：掌握通过构造特定的函数来求解微分方程的方法，例如，通过解对应的齐次方程得到通解，再利用非齐次项q(x)求特解。

-积分因子法：理解积分因子的概念，学会通过乘以一个适当的积分因子使方程变为可积分的形式，如通过乘以e^(∫p(x)dx)将方程转化为可直接积分的形式。

举例：求解方程y+y=e^x，通过常数变易法，先求解对应的齐次方程y+y=0，得到齐次解y=Ce^(-x)，然后通过变易常数C为C(x)来求解非齐次方程，最终得到解y=e^x-1。

2.教学难点

-理解并应用常数变易法中的“变易”过程：学生往往难以理解如何将常数C变为C(x)以及如何求出C(x)的具体形式。

-积分因子的选取与计算：学生可能在确定积分因子以及进行积分运算时遇到困难，尤其是在处理复杂的p(x)时。

-方程解的实际应用：将理论知识应用于实际问题中，如物理或工程问题，学生可能难以构建合适的模型并应用所学方法。

举例：在求解y+y=sin(x)时，使用积分因子法，学生可能不知道积分因子是e^(∫1dx)=e^x，或者在进行积分运算时出错。在应用方面，如求解电路中的电流变化，学生可能难以将电流方程转化为微分方程形式，并应用课堂所学知识进行求解。

教学资源

-硬件资源：多媒体投影仪、电脑

-软件资源：数学软件（如MATLAB）、PPT演示文稿

-课程平台：学校在线学习平台

-信息化资源：在线数学论坛、数字图书馆

-教学手段：板书、互动讨论、小组合作、问题解答

教学过程

1.导入新课

同学们，我们之前学习了一阶线性齐次微分方程的解法，今天我们将进一步学习一阶线性非齐次微分方程的解法。请大家思考一下，一阶线性非齐次微分方程与一阶线性齐次微分方程有什么区别呢？

（学生思考、回答）

很好，一阶线性非齐次微分方程比齐次方程多了一个非齐次项q(x)。那么，我们如何求解这类方程呢？今天，我们就来学习两种求解方法：常数变易法和积分因子法。

2.教学重点讲解

（1）一阶线性非齐次微分方程的定义与特点

首先，让我们回顾一下一阶线性非齐次微分方程的定义：y+p(x)y=q(x)。其中，y是y关于x的导数，p(x)和q(x)是给定的函数。这种方程的特点是方程右侧有一个非零的函数q(x)。

（2）常数变易法

a.首先求解对应的齐次方程y+p(x)y=0，得到齐次解y=Ce^(∫(-p(x))dx)。

b.然后，将常数C变为C(x)，构造非齐次方程的特解y=C(x)e^(∫(-p(x))dx)。

c.最后，将y和y代入原方程，求出C(x)的表达式，进而得到非齐次方程的通解。

举例：求解方程y+y=e^x。

a.对应的齐次方程y+y=0的解为y=Ce^(-x)。

b.将常数C变为C(x)，构造非齐次方程的特解y=C(x)e^(-x)。

c.将y和y代入原方程，得到C(x)=e^x。因此，原方程的通解为y=e^x-1。

（3）积分因子法

另一种求解一阶线性非齐次微分方程的方法是积分因子法。具体步骤如下：

a.首先，求出积分因子μ(x)=e^(∫p(x)dx)。

b.然后，将原方程两边乘以积分因子，得到μ(x)y+μ(x)p(x)y=μ(x)q(x)。

c.接下来，将上式转化为(yμ(x))=μ(x)q(x)，从而求出y的表达式。

举例：求解方程y+y=sin(x)。

a.积