空间解析几何和矢量代数市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件.pptx

空间解析几何和矢量代数第五章

§5-3空间中的平面和直线一、空间曲面和曲线的概念二、空间平面四、小结三、空间直线

一、空间曲面和曲线水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被当作是点的几何轨迹．曲面方程的定义：曲面的实例：

曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程。空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：空间曲线的普通方程：空间曲线的普通方程

二、空间平面如果一非零矢量垂直于一平面，这矢量量就叫做该平面的法矢量。法矢量的特性：垂直于平面内的任一矢量。1、平面的点法式方程

必有已知设平面上的任一点为。平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的方程，平面称为方程的图形。平面的点法式方程

解：取所求平面方程为化简得

取法向量化简得所求平面方程为解：

由平面的点法式方程法矢量2、平面的普通方程平面的普通方程

用平面普通方程讨论两个平面之间的特殊关系：?1：A1x+B1y+C1z+D1=0，?2：A2x+B2y+C2z+D2=0?1‖?2的充要条件为?1⊥?2的充要条件为

平面普通方程的几个特殊状况：平面过原点??D=0,(ii)(iii)A=B=0???//x轴,?//y轴,???//xy平面,B=C=0???//yz平面,C=A=0???//zx平面,(i)??A=0,?//x轴?//y轴B=0,???//z轴C=0,??

设平面为由平面过原点知所求平面方程为解：

设平面为将三点坐标代入得解：3、平面的截距式方程

将代入所设方程得平面的截距式方程

设平面为由所求平面与已知平面平行得解：

化简得令代入体积式所求平面方程为

普通说来，两平面的关系有下列几个：两平面平行不重叠两平面平行且重叠两平面相交?两平面法矢量方向一致但无交点?两平面法矢量方向一致且有交点两平面垂直相交但不垂直?两平面法矢量垂直?两平面法矢量不共线也不垂直桥梁两平面法矢量夹角4、两平面的夹角

?1:A1x+B1y+C1z+D1=0,?2:A2x+B2y+C2z+D2=0.定义：两平面?1,?2的法矢量n1,n2的夹角称为平面?1和?2的夹角(通常指锐角)。

如何求其间夹角?？分别为?1，?2的法矢量，故由平面方程，知n1=(A1,B1,C1)、n2=(A2,B2,C2)

A1A2+B1B2+C1C2=0;两平面平行??两平面垂直??n1?n2=0??n1?n2=0??A1:A2=B1:B2=C1:C2.平行不重叠??重叠??A1:A2=B1:B2=C1:C2?D1:D2;A1:A2=B1:B2=C1:C2=D1:D2.特殊情形：

【例6】设平面?过点M1(1,0,0),M2(1,1,1)且与平面?1：x+y+z=0垂直，求平面?.而?过点M1,M2.故设?1法矢量n1=(1,1,1).因此，平面??(n1?M1M2).?n1?M1M2?即?的法矢量n=n1?M1M2.则平面?//n1.解：

故得平面?方程为即n

5、平面外一点到平面的距离解：

即点到平面的距离公式称为法化因子，把乘上了法化把因子的平面方程平面的法式方程

【例7】求M0(x0,y0,z0)到xy平面的距离.解：xy平面：z=0.故

二、空间直线定义空间直线可当作两平面的交线．1、空间直线的普通方程直线的普通方程

2、直线的参数方程和直线的原则方程如果一非零矢量平行于一条已知直线，这个矢量称为这条直线的方向矢量。

令l,m,n是直线的一组方向数，方向矢量的余弦称为直线的方向余弦。直线的原则方程直线的参数方程

特殊：

如何由普通方程化成原则方程？首先，求出直线上的任意一点（x0,y0,z0）。设x0，代入直线的普通方程即可求得任意一点（x0,y0,z0）。其次，求出直线的方向矢量两平面的法矢量因此，有

因l,m,n不能同时取零，从这两个关系所拟定的有关的解，可由下列比例式去求得

【例8】用原则式方程及参数方程表达直线解：在直线上任取一点取解得点坐标

因所求直线与两平面的法矢量都垂直取对称式方程参数方程

解：因此交点为取所求直线方程

直线直线定义：两直线的方向矢量的夹角称之两直线的夹角.（普通取锐角）3、两直线的夹角两直线的夹角公式

两直线的位置关系：//直线直线例如，

解：设所求直线的方向矢量为根据题意知取所求直线的方程

解：先作一过点M且与已知直线垂直的平面再求已知直线与该平面的交点N,令

代入平面方程得,交点取所求直线的方向向量为所求直线方程为

4、点到直