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3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义
学习目标
1.记住复数加减运算法则,能够进行正确的
计算.
2.理解复数加减法的几何意义.
重点:正确理解复数的加减运算,复数加
减运算的几何意义
难点:对比复数加减法与向量加减法的异同,
从而理解复数的几何意义
复习回顾
设Z1=a+bi,Z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的和:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
说明:(1)复数的加法运算法则是一种规定。当b=0,d=0时与实数加法法则保持一致
(2)很明显,两个复数的和仍然是一个复数。对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
1、复数的加法法则:
思考:类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则?
练习:计算
(1)(2+3i)+(-3+7i)=
(2)-4+(-2+6i)+(-1-9i)=
(3)已知Z1=a+bi,Z2=c+di,若Z1+Z2是纯虚数,则有()
A.a-c=0且b-d≠0B.a-c=0且b+d≠0
C.a+c=0且b-d≠0D.a+c=0且b+d≠0
-1+10i
-7-3i
D
两个复数的和是一个复数吗?
两个虚数的和仍是一个虚数吗?
是
不一定
证:设Z1=a1+b1i,Z2=a2+b2i,Z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R)
则Z1+Z2=(a1+a2)+(b1+b2)i,Z2+Z1=(a2+a1)+(b2+b1)i
显然Z1+Z2=Z2+Z1
同理可得(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
点评:实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然成立。
运算律
探究一
复数的加法满足交换律,结合律吗?
y
探究二复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向量加法的几何意义,你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗?
复数的加法可按照向量的加法来进行(平行四边形法则或三角形法则),这就是复数加法的几何意义
复数是否有减法?如何理解复数的减法?
复数的减法规定是加法的逆运算,即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差,记作(a+bi)-(c+di)
请同学们推导复数的减法法则。
即:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
点评:根据复数相等的定义,我们可以得出复数的减法法则---就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减,且知两个复数的差是唯一确定的复数。
探究三
14+i
练习:
解:
类比复数加法的几何意义,请指出复数减法的几何意义?
探究四
课堂练习
1、计算:(1)(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)=___________
(2)(3-2i)-(2+i)-(________)=1+6i
2、已知x∈R,y为纯虚数,且(2x-1)+i=y-(3-y)i
则x=_______y=_______
-2+2i
-9i
4i
分析:依题意设y=ai(a∈R),则原式变为:
(2x-1)+i=(a-3)i+ai2=-a+(a-3)i
小结
复数的加法与减法
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