《平面几何中的向量方法与向量在物理中的应用举例》同步学案(教师版) (1).docxVIP

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《平面几何中的向量方法与向量在物理中的应用举例》同步学案

情境导入

向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何和物理中的向量方法.

如:两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么?

自主学习

自学导引

1.向量方法在几何中的应用.

(1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的充要条件:______________.

(2)证明垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形等,常用向量垂直的充要条件:非零向量______________.

(3)求夹角问题,往往利用向量的夹角公式________________(其中为向量的夹角).

(4)求线段的长度或证明线段相等,可以利用向量的线性运算、向量模的公式:________.

2.力向量.

力向量与前面学过的自由向量有区别.

(1)相同点:力和向量都既要考虑________又要考虑________.

(2)不同点:向量与________无关,力和________有关,大小和方向相同的两个力,如果________不同,那么它们是不相等的.

3.向量方法在物理中的应用.

(1)力、速度、加速度、位移都是________.

(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________运算,运动的叠加亦用到向量的合成.

(3)动量是________.

(4)功即是力与所产生位移的________.

答案:

1.(1)

(2)

(3)

(4)

2.(1)大小方向(2)始点作用点作用点

3.(1)向量(2)加、减(3)数乘向量(4)数量积

预习测评

1.在中,已知,则边的中线的长是()

A.

B.

C.

D.

2.点是所在平面内的一点,满足.,则点是的()

A.三个内角的角平分线的交点

B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三条高的交点

3.一质点受到平面上的三个力(单位:)的作用而处于平衡状态,已知成角,且的大小分别为2和4,则的大小为()

A.6

B.2

C.

D.

答案

解析:中点为.

2.D

解析:∵.同理为垂心.

3.C

解析:因为力是一个向量,由向量加法的平行四边形法则知的大小等于以为邻边的平行四边形的对角线的长,故.

新知探究

探究点1向量在几何中的应用

知识详解

1.平面几何图形的许多性质,如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.

2.用向量方法解决平面几何问题“三步曲”:

(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;

(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

[特别提示]

利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量,另一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.

典例探究

例1用向量法证明:直径所对的圆周角是直角.

解析:如下图,是的直径,点是上任一点(不与重合),只需证明即可,即证

答案:连接,设向量,则,

即

方法技巧

解决垂直问题,一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零,而在此过程中,则需运用向量运算,将目标向量用基底表示,通过基底的数量积运算式使问题获解.如本题便是将向量由基底线性表示.当然基底的选取应以方便运算为准,即它们的夹角是明确的,且长度易知.

变式训练1如图,是的外心,为内一点,满足,求证:.

答案:因为,

所以.

因为为外心,所以.

所以,即.

解析:要证,即证,即证,选取基底,将表示出来即可.

探究点2向量在物理中的应用

知识详解

1.物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.

2.向量的加、减法运算体现在一些物理量的合成和分解中.

3.动量是向量的数乘运算.

4.功是力与位移的数量积.

[特别提示

1.向量在物理中的应用一般涉及力或速度的合成与分解,因此,充分借助向量的平行四边形法则把物理问题转化为数学问题是解题的关键,同时正确作图将有助于对问题的分析.

2.用向量理论讨论物理学中的相关问题,一般来说分为四个步骤:

(1)问题的转化:把物理问题转化成数学问题;

(2)模型的建立:建立以向量为主体的数学模型;

(3)参数的获取:求出数学模型的解;

(4)问题的答案:回到物理现象中,用已经获取的数