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高中数学精编资源
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《复数的加、减运算及其几何意义》同步学案
情景导入
我们知道,在实数系中,实数之间有其运算法则和运算律,现在我们已将实数系扩充到了复数系,那么在复数系中,复数代数形式的四则运算和运算律又是怎样规定的呢?同学们,请进入你的探索世界吧!
自主学习
自学导引
1.复数的加法及其几何意义.
(1)设是任意两个复数,那么它们的和______.
(2)复数的加法可以按照______来进行,这是复数加法的______.
2.复数的加法满足的运算律.
对任意,有
(1)交换律:______;
(2)结合律:______.
3.复数的减法及其几何意义.
(1)复数的减法是加法的逆运算,即把满足的复数叫做复数减去复数的差,记作.那么________.两个复数的差是一个确定的_______.
(2)复数的减法可以按照_______来进行,这是复数减法的______.
答案:
1.(1)(2)向量的加法几何意义
2.(1)(2)
3.(1)复数
(2)向量的减法几何意义
预习测评
1.设,则在复平面内对应的点位于()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知复数,若是纯虚数,那么实数的值为()
A.1
B.2
C.-2
D.-2或1
3.在复平面内,是原点,表示的复数分别为,则表示的复数为()
A.
B.
C.
D.
4.已知复数对应的向量如图所示,则复数所对应的向量正确的是()
ABCD
答案:
1.
解析:∵在复平面内对应的点位于第四象限.
2.C
解析:由是纯虚数,得
得.
3.
解析:.
4.
解析:由图知,则,由复数的几何意义可知,A是正确的.
新知探究
探究点1复数的加法运算
知识详解
1.复数的加法法则.
设是任意两个复数,那么它们的和d)i.
2.复数的加法满足的运算律.
对任意,有
(1)交换律:;
(2)结合律:.
[特别提示]对复数的加法法则的理解:
(1)复数的加法中规定:实部与实部相加,虚部与虚部相加,很明显,两个复数的和仍然是一个确定的复数.
(2)当时,,即当两个复数为实数时,复数的加法法则与实数的加法法则一致.
(3)复数的加法可以推广到多个复数相加的情形:各复数的实部分别相加,虚部分别相加.
(4)把复数的代数形式看成关于“”的多项式,则复数的加法类似于多项式的加法,只需“合并同类项”.
典例探究
例1计算:
(1);
(2).
解析:直接运用复数的加法运算法则进行计算.
答案:原式.
(2)原式.
方法规律两个复数相加,所得的和为两个复数的实部与实部相加,虚部与虚部相加.
变式训练1已知是虚数单位,则复数的虚部是()
A.1
B.
C.1
D.
答案:
解析:.故复数的虚部为1.
探究点2复数的减法法则
知识详解
规定复数的减法是加法的逆运算,即把满足的复数叫做复数减去复数的差,记作.那么.
[特别提示]
(1)两个复数的差的实部是被减数的实部减去减数的实部,虚部是被减数的虚部减去减数的虚部.很明显,两个复数的差仍然是一个确定的复数.
(2)两个实数的差是实数,但是两个虚数的差不一定是虚数,例如.
(3)把复数的代数形式看成关于“”的多项式,则复数的减法类似于多项式的减法,只需“合并同类项”即可.
典例探究
例2求的值.
解析:先进行复数的减法,之后再对结果求模.
答案:原式
变式训练2计算.
答案:.
方法规律代数形式的复数相加减,就是将它们的实部、虚部分别相加减,实数范围的加法的运算律在复数范围内仍然成立.
探究点3复数加减运算的几何意义
知识详解
1.复数加法的几何意义.
在复平面内,设对应的向量分别为,则,d).以为邻边作平行四边形(如图所示),则由平面向量的坐标运算,可得,即,即对角线对应的向量就是与复数对应的向量.
这说明两个向量与的和就是与复数对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量的加法来进行,这是复数加法的几何意义.
2.复数减法的几何意义.
两个复数在复平面内对应的向量分别是,那么这两个复数的差对应的向量是,即向量.
如果作,那么点对应的复数就是(如图所示).
这说明两个向量与的差就是与复数对应的向量,因此,复数的减法可以按照向量的减法来进行,这是复数减法的几何意义.
[特别提示]
(1)两个复数分别对应两个向量,则可通过平移,使第二个向量的起点与第一个向量的终点重合,连接第一个向量的起点和第二个向量的终点,所得向量就是两个复数的和对应的向量.
(2)复数
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