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2024-2025学年北京市朝阳区首师附实验学校高二上学期9月月考
数学试题
一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分。
1.已知zi=i?1,则z=
A.0 B.1 C.2 D.
2.如图,在平行六面体ABCD?A1B1C1D
A.AC1 B.A1C C.
3.已知A2,?3,?1,B?6,5,3,则AB的坐标为(????)
A.?8,8,?4 B.?8,8,4 C.8,?8,4 D.8,?8,?4
4.如图,已知正方体ABCD?A′B′C′D′的棱长为1,AA′?DB′=(????)
A.1 B.2 C.3
5.设n1,n2分别是平面α,β的法向量,其中n1=1,y,?2,n2=
A.?92 B.?72 C.
6.已知直线l1的方向向量为u=0,0,1,直线l2的方向向量为v=0,3
A.30° B.60° C.120°
7.已知n为平面α的一个法向量,a为直线l的一个方向向量,则“a⊥n”是“l//α”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=OA+OB+OC,向量b
A.OA B.OB C.OC D.OA或OB
9.在空间直角坐标系Oxyz中,点A2,1,1在坐标平面Oxz内的射影为点B,且关于y轴的对称点为点C,则B,C两点间的距离为(????)
A.17 B.32 C.2
10.在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中,M,N分别为BC,AD的中点,则AM和CN夹角的余弦值为(????)
A.23 B.33 C.1
二、填空题:本题共55小题,每小题5分,共25分。
11.已知向量a=2,?3,1,则与a共线的单位向量为??????????.
12.已知向量a=2,0,?1,b=m,?2,1且a⊥b,则m=??????????,
13.已知直线l经过A1,0,1,B2,0,0两点,则点P2,1,4到直线l的距离为??????????
14.在空间直角坐标系Oxyz中,已知AB=2,0,0,AC=0,2,0,AD=0,0,2.则CD与CB的夹角的余弦值为??????????;CD在CB
15.以下关于空间向量的说法:
①若非零向量a,b,c满足a//b,b
②任意向量a,b,c满足a
③若OA,OB,OC为空间向量的一组基底,且OD=23OA+
④已知向量a=1,1,x,b=?3,x,9,若
其中正确命题的序号是??????????.
四、解答题:本题共4小题,共48分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1
(1)求证:AA
(2)求平面D1
(3)求点A1到平面D1
17.如图,正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为2,高为4,D为C
??
(1)求证:C1E//平面
(2)求直线BC与平面A1BD
18.如图,在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=22,∠BAD=60°,
(1)试用基底a,b,
(2)求OA
(3)求直线OA1与直线BC
19.如图,四棱锥S--ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点.
(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求平面PAC与平面ACD的夹角大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE//平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.
参考答案
1.C?
2.C?
3.B?
4.A?
5.D?
6.B?
7.B?
8.C?
9.D?
10.A?
11.147,?
12.12
;
13.3?
14.12
;
15.①③?
16.(1)因为ABCD?A1B1C
又D1E?面A1
(2)以D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,如下所示:
则可得:D1
D
设平面D1BE的法向量为
则m?D1E=0m?
故平面D1BE的一个法向量为
(3)设点A1到平面D1BE
则d=A
故点A1到平面D1BE
?
17.(1)
??
如图以A为坐标原点,以AC,AA1所在直线为y轴,z轴,在平面ABC内做与AC垂直的直线为
C10,2,4,B3,1,0,D0,2,2,
所以C1E=3
设平面A1BD的法向量为
所以n?A
令x=3,所以z=1,
即n=3
所以C1
又因为C1E?平面
所以C1E//平面
(2)由(1)知BC=?
设直线BC与平面A1BD所成角为
所以sinθ=
所以直线BC与平面A1BD所成角的正弦值为
?
1
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