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2024-2025学年山东省实验中学高二(上)月考数学试卷(10月份)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系O?xyz中,已知点A(1,?1,2)关于z轴的对称点为B,则AB等于(????)
A.32 B.26 C.
2.如图,在斜三棱柱ABC?A1B1C1中,M为BC的中点,N为A1C1靠近A1的三等分点,设AB=a,AC=b,
A.12a+16b?c
3.直线的一个方向向量为v=(1,?3),且经过点(0,2),则直线的方程为(????)
A.3x?y+2=0 B.3x+y?2=0 C.3x+y+2=0 D.3x?y?2=0
4.已知直线l的方向向量为e=(2,1,?2),平面α的法向量为n=(?2,b?a,a+b),(a,b∈R).若l⊥α,则a+3b的值为(????)
A.1 B.3 C.4 D.?4
5.“m=3”是“直线l1:mx+y+m=0与l2:3x+(m?2)y?3m=0平行”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.正四面体P?ABC的棱长为2,点D是AB的中点,则PD?BC的值为(????)
A.1 B.23 C.?23
7.已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为3,则其一条边所在直线的斜率是(????)
A.?3 B.?2 C.13 D.
8.设动点P在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的对角线BD1上,
A.[0,13)B.[0,12)
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(2,0,2),b=(?12,1,?3
A.a与b垂直
B.b与c共线
C.a与c所成角为锐角
D.a,b,c可作为空间向量的一组基底
10.已知两直线l1:2mx+y?2m+1=0,l2:x?my?m?2=0(m∈R),l2:x?my?m?2=0(m∈R),则下列说法正确的是
A.对任意实数m,直线l1,l2的方向向量都不可能平行
B.存在实数m,使直线l1垂直于x轴
C.存在实数m,使直线l1,l2互相垂直
D.
11.在正三棱柱ABC?A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足
A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值
B.当μ=1时,三棱锥P?A1BC的体积为定值
C.当λ=12时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥BP
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知向量a=(2,?1,1),b=(?1,1,x),若a与b垂直,则|a+2
13.已知点A(3,1),B(?4,?1),直线l过点P(?2,3)且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是______.
14.在△ABC中,已知A(1,1),AC边上的高线所在的直线方程为x?2y=0,AB边上的高线所在的直线方程为3x+2y?3=0.则BC边所在的直线方程为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知空间中三点A(3,1,?1),B(2,0,?1),C(4,1,?3),设a=AB,b=AC.
(1)若|c|=3,且c//BC,求向量c
16.(本小题15分)
如图,四棱锥P?ABCD中,PB⊥平面ABCD,四边形ABCD是梯形,BC/?/AD,∠BAD=90°,PB=AB=AD=2,BC=1,点E是AP的中点,F是PB上的点,BF=13BP.
(1)求证:点F在平面ECD内;
(2)求点P到平面ECD
17.(本小题15分)
已知直线l过点(3,4),O为坐标原点.
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l方程;
(2)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点且△AOB面积为24.
ⅰ)求直线l方程;
ⅱ)若点P为线段AB上一动点,且PQ//OB交OA于点Q.在y轴上是否存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形,若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
18.(本小题17分)
如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=45°,PA⊥底面ABCD,AB=AC=PA=2,E、F分别为BC、AD的中点,点M在线段PD上.
(Ⅰ)求证:EF⊥平面PAC;
(Ⅱ)设PMPD=λ,若直线ME与平面PBC所成的角θ的正弦值为1515
19.(本小题17分)
球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图,球O的半径为R.A
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