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黑龙江省哈尔滨市南岗区第三中学2023年高三第一次月考-数学试题试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数,若则()
A.f(a)f(b)f(c) B.f(b)f(c)f(a)
C.f(a)f(c)f(b) D.f(c)f(b)f(a)
2.设,满足约束条件,若的最大值为,则的展开式中项的系数为()
A.60 B.80 C.90 D.120
3.从抛物线上一点(点在轴上方)引抛物线准线的垂线,垂足为,且,设抛物线的焦点为,则直线的斜率为()
A. B. C. D.
4.已知抛物线的焦点为,过焦点的直线与抛物线分别交于、两点,与轴的正半轴交于点,与准线交于点,且,则()
A. B.2 C. D.3
5.已知集合,则集合真子集的个数为()
A.3 B.4 C.7 D.8
6.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,则双曲线的离心率为()
A. B. C.3 D.4
7.在中,角的对边分别为,,若,,且,则的面积为()
A. B. C. D.
8.在正方体中,球同时与以为公共顶点的三个面相切,球同时与以为公共顶点的三个面相切,且两球相切于点.若以为焦点,为准线的抛物线经过,设球的半径分别为,则()
A. B. C. D.
9.已知,,,则的大小关系为()
A. B. C. D.
10.已知函数,若方程恰有两个不同实根,则正数m的取值范围为()
A. B.
C. D.
11.已知无穷等比数列的公比为2,且,则()
A. B. C. D.
12.已知,函数在区间上恰有个极值点,则正实数的取值范围为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设f(x)=etx(t>0),过点P(t,0)且平行于y轴的直线与曲线C:y=f(x)的交点为Q,曲线C过点Q的切线交x轴于点R,若S(1,f(1)),则△PRS的面积的最小值是_____.
14.已知,则展开式中的系数为__
15.在直角坐标系中,已知点和点,若点在的平分线上,且,则向量的坐标为___________.
16.过动点作圆:的切线,其中为切点,若(为坐标原点),则的最小值是__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数,其中,为自然对数的底数.
(1)当时,求函数的极值;
(2)设函数的导函数为,求证:函数有且仅有一个零点.
18.(12分)已知椭圆的右焦点为,直线被称作为椭圆的一条准线,点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点),过点作直线与椭圆相切,且与直线相交于点.
(1)求证:.
(2)若点在轴的上方,当的面积最小时,求直线的斜率.
附:多项式因式分解公式:
19.(12分)已知函数,.
(1)求函数的极值;
(2)当时,求证:.
20.(12分)如图,四棱锥中,底面为直角梯形,∥,为等边三角形,平面底面,为的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)点在线段上,且,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
21.(12分)已知函数.
(1)当时,判断在上的单调性并加以证明;
(2)若,,求的取值范围.
22.(10分)已知椭圆()的离心率为,且经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线与椭圆交于不同的两点,,试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C
【解析】
利用导数求得在上递增,结合与图象,判断出的大小关系,由此比较出的大小关系.
【详解】
因为,所以在上单调递增;
在同一坐标系中作与图象,
,可得,故.
故选:C
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查利用函数的单调性比较大小,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.
2.B
【解析】
画出可行域和目标函数,根据平移得到,再利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
如图所示:画出可行域和目标函数,
,即,故表示直线与截距的倍,
根据图像知:当时,的最大值为,故.
展开式的通项为:,
取得到项的系数为:.
故选:.
【点睛】
本题考查了线性规划求最值,二项式定理,意在
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