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高中
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高中
2023北京陈经纶中学高一10月月考
数学
本试卷共8页,150分。考试时长90分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共10小题,每小题5分,共50分。在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.已知集合,,则(????)
A. B. C. D.
2.若函数,且,则(????)
A.7 B.8 C.9 D.10
3.设全集,集合,,则图中阴影部分对应的集合为(????)
A. B.
C. D.
4.若,下列不等式中不一定成立的是()
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域为,则的定义域是()
A. B. C. D.
6.已知实数、、满足,那么“”是“”成立的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为,,且,如图所示,则的取值范围是(????)
A. B.
C.或 D.
8.已知函数,若,则(????)
A. B.0 C.或0 D.
9.若存在,有成立,则实数a的取值范围是(????)
A. B. C. D.
10.对集合的每一个非空子集,定义一个唯一确定的“交替和”,概念如下:按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大的开始,交替减加后面的数所得的结果.例如:集合的“交替和”为,集合的“交替和”为,集合的“交替和”为6,则集合所有非空子集的“交替和”的和为(????)
A. B. C. D.
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
11.函数的定义域为________.
12.已知,,且,则的取值范围是________.
13.已知不等式的解集为或,则不等式的解集是________.
14.已知函数,的值域是,则实数的取值范围是________.
15.若,则实数的一个取值为.
16.高斯函数是数学中的一个重要函数,在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设,用符号表示不大于的最大整数,如称函数叫做高斯函数.给出下列关于高斯函数的说法:
①
②若,则
③函数的值域是
④函数在上单调递增
其中所有正确说法的序号是________.
三、解答题共5小题,共70分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
17.设全集为,集合,.
(Ⅰ)若,求;
(Ⅱ)当时,是否满足?说明理由;
(Ⅲ)在①,②,③,这三个条件中任选一个作为已知条件,求实数的取值范围.
(注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分)
18.设.
(Ⅰ)若不等式对恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅱ)已知,解关于的不等式.
19.某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”规则如下:
①3小时内(含3小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值E(单位:)与游玩时间t(单位:小时)满足关系式:;
②3到5小时(含5小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变);
③超过5小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,正比例系数为50.
(Ⅰ)当时,写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式,求出游玩6小时的累积经验值;
(Ⅱ)该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”,记为,若,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围.
20.已知函数.
(Ⅰ)求函数的零点;
(Ⅱ)证明:函数在区间上单调递增;
(Ⅲ)若时,恒成立,求正数a的取值范围.
21.设集合为非空数集,定义,,,.
(Ⅰ)若集合,,直接写出集合及;
(Ⅱ)若集合,,,,,且,求证;
(Ⅲ)若集合,且,求中元素个数的最大值.
参考答案
一、选择题共10小题,每小题5分,共50分。在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
【分析】将此集合分成两类,并在两类集合之间建立一一映射关系后根据“交替和”的定义即可求出答案.
【详解】解:由题意得:
集合的非空子集中,除去集合,还有个非空集合,将这个子集分成两类:
第一类:包含的子集;第二类:不包含的子集;
在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系:,其中是第二类子集,显然这种对应是一一映射
设的“交替和”为,则的“交替和”为,这一对集合的“交替和”的和等于,所以集合A的所有非空集合的“交替和”总和为
故选:B
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
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