《向量的线性运算》同步学案(教师版) (1).docxVIP

高中数学精编资源

PAGE2/NUMPAGES2

《向量的线性运算》同步学案

情境导入

质点从点O出发做匀速直线运动,若经过1s的位移对应的向量用a表示,那么在同方向上经过6s的位移对应的向量怎样表示?

自学导引

1.向量的数乘.

一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个这种运算叫做向量的,记作,其长度与方向规定如下:

(1)|λ

(2)λa的方向

由(1)可知,当λ=0时,λ

由(1)(2)可知,(-

2.向量数乘的运算律.

(1)λ(

(2)(λ+μ

(3)λ(

特别地,有(-λ)a

λ(

答案

1.向量数乘λa(1)|λ||a|(2)λ0

2.(1)(λμ)a(2)λa+μa(3)λ

预习测评

1.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论中正确的是()

A.a与λa

B.a与-λa

C.a与λ2

D.|

2.已知m,n是实数,a,b

(1)m(

(2)(m-n

(3)若ma=mb,

(4)若ma=na,

A.(1)(4)

B.(1)(2)

C.(1)(3)

D.(3)(4)

3.在ΔABC中,点P是AB上一点,且CP=23CA+13

A.1

B.2

C.1

D.5

4.如图,向量OA,OB,OC的终点在同一直线上,且AC=-3

A.r=-12p+32

5.(1)(-

(2)3(a

答案

1.C

解析:只有当λ0时,a与λa的方向相同,a与-λa的方向相反,且|λa|=λ|a|

2.B

解析:(1)和(2)正确;(3)中,若m=0,则不能推出a=b,错误;(4)中,若a=0,

3.A

解析:由题意可得AP=CP-CA

4.A

解析:∵AC

5.(1)8

(2)-

新知探究

探究点1向量的数乘的定义

知识详解

一般地,规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,其长度与方向规定如下

(1)|λ

(2)当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa

由(1)可知,当λ=0时,λ

由(1)(2)可知,(-1)a

[特别提示]

从两个角度看向量的数乘:

(1)代数角度：

λ是实数,a是向量,它们的积仍是向量;另外,λa=0的条件是λ=

(2)几何角度:

对于向量的长度而言,

①当|λ|1时,有|λa||a|,这意味着表示向量

②当0|λ|1时,有|λa||a

典例探究

例1已知λ,μ∈R,且a≠0

(1)λ0时,λa的方向与a

(2)λ0时,λa的方向与a

(3)λ=0时,λa与a

(4)λμ0时,λa的方向与μ

(5)λμ0时,λa的方向与μ

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

解析:根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定,易知(1)(2)都是正确的;对于(3),当λ=0时,λa=0,0与a是共线向量,故(3)正确;对于(4),由λμ0可得λ,μ同为正或同为负,所以λa和μa或者都与a同向,或者都与a反向,所以λa与μa是同向的,故(4)正确;对于(5),由λμ0可得λ,μ异号,所以λa和μa中,一个与

答案:D

归纳总结:λ的正负决定向量λa的方向,λ的大小决定λa

变式训练1设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是()

A.a的方向与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a| C.|

答案:D

解析:对于A,∵a是非零向量,λ是非零实数,∴a的方向与-λa的方向相反或相同,A错误;对于B,当|λ|1时,|-λa||a|,B错误;

探究点2向量数乘的运算律

知识详解

1.设λ,μ为实数

(1)λ(

(2)(λ+μ

(3)λ(

特别地,(-λ

λ(

2.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ

典例探究

例2计算:(1)(-

(2)2(a

(3)(x+y

解析:利用向量的数乘的运算律进行计算.注意在去括号时,如果括号前是负号,则括号内各项前面的符号都要变号.

答案:(1)原式=(

(2)原式=2

(3)原式=[(

方法技巧:向量的数乘与数乘数不同,前者结果是一个向量,后者结果是一个数,λ0时,λa与a同向;λ0时,λa与a反向;λ=0时,λa=0,故λa与

变式训练2化简:14

答案:1

=

=

=-

易错易混解读

例设向量a=3i+2j,b

错解:原式=

=

=-

=-

=-

=

=-13

错因分析:向量的线性运算类似多项式的运算,在去、添括号时尤其要注意括号内各项符号的变化.在第一步去原式的括号时,第二个括号前面是负号,因此在去括号时,括号内各项都要变号,但这里的“-23b”没有变号,这是错误一.在倒数第二步中,针对向量j的系数进行添括号时,括号前面是负号,因此括号内的各项都应该变号,但“-13

正解