第02讲 10.2事件的相互独立性（解析版）_1_1_1.docxVIP

第02讲10.2事件的相互独立性

题型一：独立事件的判断

典型例题

例题1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（???）

A．与相互独立 B．与对立

C．与相互独立 D．与相互独立

【答案】C

【分析】

用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得．

【详解】

依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个；

其中事件“”包含的样本点有：

，，，，，共个；

事件“”，包含的样本点有：

，，，，，，，，共个，

事件“”，包含的样本点有：，，，，，，

，，，，，，

，，，，，共个，

所以与不能同时发生，但是能同时不发生，故不是对立事件，故B错误；

因为与不能同时发生，所以与是互斥事件，则，

又，，所以，

所以与不相互独立，故A错误；

又事件包含的样本点有：，，共个，

所以，，则，

所以与相互独立，故C正确；

事件包含的样本点有：，，，，，共个，

因为，所以与不相互独立，故D错误．

故选：C

例题2．（2024·江苏·模拟预测）有5张相同的卡片，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为”，则（????）

A．与为对立事件 B．与为相互独立事件

C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件

【答案】B

【分析】根据对立事件和互斥事件的定义即可判断AD；根据相互独立事件的定义结合古典概型公式进行计算，即可判断BC.

【详解】由题意，与互斥但不对立，故A错；

事件有共种，则，

事件有共种，则，

其中事件有共种，事件有共种，

，

则，所以与相互独立，故B对；

，所以与不独立，故C错；

因为与可同时发生，所以与不互斥，故D错.

故选：B.

例题3．（多选）（23-24高二上·河南驻马店·期末）有4个相同的球，分别标有数字，从中不放回随机取两次，每次取1个球，表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列关系成立的是（????）

A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立

【答案】BC

【分析】列出基本事件，利用古典概型的概率公式结合独立事件的定义一一判断即可．

【详解】从上述个球中不放回的随机取两次，每次取1个球，

所有的基本事件：、、、、、、、、、、、，共种，

其中事件包含的基本事件有：、、、、、，共6种，

事件包含的基本事件有：、、、、、，共6种，

事件包含的基本事件有：、、、、、、，，共8种，

事件包含的基本事件有：、、、，共4种，

对于A：，，

事件包含的基本事件有：、、、，共4种，

则，故，不独立，故A错误；

对于B：事件包含的基本事件有：、、、，共种，

则，又，所以，故，相互独立，故B正确；

对于C：事件包含的基本事件有：、，共2种，则，

又因为，则，则、相互独立，故C正确；

对于D：因为、互为对立事件，所以，则，故、不相互独立，故D错误．

故选：BC．

例题4．（23-24高三下·上海·阶段练习）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面朝上”，事件B是“第二枚为正面朝上”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有（用数字①②③作答）

①事件A与事件B；②事件A与事件C；③事件C与事件B.

【答案】①②③

【分析】

利用古典概型分别求得事件的概率，再利用独立事件的概率公式逐一判断即可得解.

【详解】依题意，，

，

对于①，，所以与是相互独立本件；

对于②，，所以与是相互独立事件；

对于③，，所以与是相互独立事件.

故答案为：①②③.

精练核心考点

1．（23-24高一下·江西·开学考试）现有张完全相同的卡片，分别写有字母、、、、，从中任取一张，看后再放回，再任取一张.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为”，丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”，丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”，则（????）

A．乙与丁相互独立 B．甲与丙相互独立

C．丙与丁相互独立 D．甲与乙相互独立

【答案】D

【分析】计算出事件甲、乙、丙、丁的概率，结合独立事件的定义逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】设事件甲、乙、丙、丁分别记为、、、，由题意可得，

有放回的抽取卡片两次的基本事件数