专题2-8 恒成立和存在型求参归类 （讲+练） （原卷版）_1.docx

专题2.8恒成立和存在型求参归类

一、知识梳理与二级结论

二、热考题型归纳

【题型一】参变分离基础型

【题型二】参变分离：虚设零点

【题型三】参变分离：洛必达法则

【题型四】分类讨论求参型

【题型五】分类讨论求参：端点值型

【题型六】分类讨论求参：隐零点型

【题型七】分类讨论求参：整数型

【题型八】同构型求参数

【题型九】x1与x2型求参：恒成立与存在型

【题型十】x1与x2型求参：值域子集型

【题型十一】x1与x2型求参：绝对值分离同构

【题型十二】数列型恒成立求参

【题型十三】三角函数型恒成立存在求参

三、高考真题对点练

四、必威体育精装版模考题组练

知识梳理与二级结论

一、虚设零点法：

涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决

虚设零点转化技巧：

（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，如比值代换等等。

（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量求导就可以解决相应的问题。

（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围。

二、常见同构技巧：

三、洛必达法则：

1.洛必达法则可处理，，，，，，型。

2.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

3.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：

及；

(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g(x)≠0；

(3)，

那么=。

法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：

(1)及；

(2)，f(x)和g(x)在与上可导，且g(x)≠0；

(3)，

那么=。

法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；

(2)在点a的去心HYPERLINK邻域内，f(x)与g(x)可导且g(x)≠0；

(3)，

那么=。

四、恒（能）成立问题的解法：

1.若在区间上有最值，则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

2.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

五.对于含有全称量词，特称量词的题目，有以下常见结论：

；

；

.

六.不等式恒成立（能成立）问题，一般有两种方法：

方法1：分离参数法解决恒(能)成立问题，

方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.

热点考题归纳

【题型一】参变分离型

【典例分析】

已知函数，其中．

(1)讨论的单调性；

(2)若，，求的最大值．

【提分秘籍】

参变分离型求参数：

参变分离：当不等式含有两个字母时，其中一个有定义域的为变量，另外一个则为参数。两个变量比较容易拆开时，则用参变分离。不容易拆开时，则可以采用分类讨论和最值分析法来解决这类问题。

如何确定参数与变量：一般情况下，有范围的字母为变量，构造关于它的函数，所求的字母（一般情况下）看为参数。

参变分离发的适用范围：恒成立或者存在问题求参数

、是否能分离变量，如能分离（参数），则可以通过对变量函数求最值得到。

、参变分离后，已知变量的函数解析式是否能求出最值（端点值或临界值），若无法求出最值，则无法用参变分离解决。

【变式演练】

（广东省湛江市第二十一中学2020-2021学年高三3月数学试题）已知函数，

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【题型二】参变分离求参：虚设零点型

【典例分析】

（2020秋·辽宁营口·高三营口市第二高级中学校考阶段练习）已知函数，

（1）判断函数在区间上的单调性；

（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值．

【提分秘籍】

虚设零点转化技巧：

（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，如比值