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2024届青海省平安区第一高级中学高三第一模拟考试数学试题
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数,若函数有三个零点,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
2.如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,若,,则()
A.1 B. C.2 D.3
3.已知函数,,若,对任意恒有,在区间上有且只有一个使,则的最大值为()
A. B. C. D.
4.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值是()
A.7 B.5 C.3 D.2
5.函数的图象可能为()
A. B.
C. D.
6.有一改形塔几何体由若千个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8,如果改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是()
A.8 B.7 C.6 D.4
7.已知双曲线:(,)的焦距为.点为双曲线的右顶点,若点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的离心率是()
A. B. C.2 D.3
8.函数与的图象上存在关于直线对称的点,则的取值范围是()
A. B. C. D.
9.已知函数,其中,若恒成立,则函数的单调递增区间为()
A. B.
C. D.
10.已知函数,,若对任意,总存在,使得成立,则实数的取值范围为()
A. B.
C. D.
11.若,满足约束条件,则的取值范围为()
A. B. C. D.
12.公比为2的等比数列中存在两项,,满足,则的最小值为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.如图,从一个边长为的正三角形纸片的三个角上,沿图中虚线剪出三个全等的四边形,余下部分再以虚线为折痕折起,恰好围成一个缺少上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底,则所得正三棱柱的体积为______.
14.在的展开式中,所有的奇数次幂项的系数和为-64,则实数的值为__________.
15.已知公差大于零的等差数列中,、、依次成等比数列,则的值是__________.
16.在正方体中,分别为棱的中点,则直线与直线所成角的正切值为_________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知,均为给定的大于1的自然数,设集合,
.
(Ⅰ)当,时,用列举法表示集合;
(Ⅱ)当时,,且集合满足下列条件:
①对任意,;
②.
证明:(ⅰ)若,则(集合为集合在集合中的补集);
(ⅱ)为一个定值(不必求出此定值);
(Ⅲ)设,,,其中,,若,则.
18.(12分)已知函数,.
(1)当时,讨论函数的零点个数;
(2)若在上单调递增,且求c的最大值.
19.(12分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,且过点.
求椭圆的方程;
已知是椭圆的内接三角形,
①若点为椭圆的上顶点,原点为的垂心,求线段的长;
②若原点为的重心,求原点到直线距离的最小值.
20.(12分)如图,在四棱柱中,平面平面,是边长为2的等边三角形,,,,点为的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使直线与平面所成的角正弦值为,若存在求出的长,若不存在说明理由.
21.(12分)设数列的前n项和满足,,,
(1)证明:数列是等差数列,并求其通项公式﹔
(2)设,求证:.
22.(10分)已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据所给函数解析式,画出函数图像.结合图像,分段讨论函数的零点情况:易知为的一个零点;对于当时,由代入解析式解方程可求得零点,结合即可求得的范围;对于当时,结合导函数,结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围.
【详解】
根据题意,画出函数图像如下图所示:
函数的零点,即.
由图像可知,,
所以是的一个零点,
当时,,若,
则,即,所以,解得;
当时,,
则,且
若在时有一个零点,则,
综上可得,
故选:B.
【点睛】
本题考查了函数图像的画法,函数零点定
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