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专题3.3函数的奇偶性、周期性与对称性
题型一
判断函数的奇偶性
题型二
利用奇偶性求函数值或参数值
题型三
利用奇偶性求解析式
题型四
函数周期性的应用
题型五
函数对称性的应用
题型六
单调性与奇偶性的综合问题
题型七
对称性、周期性与奇偶性的综合问题
题型一 判断函数的奇偶性
例1．（2023·北京房山·统考二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】判断二次函数的对称轴，可得函数不是偶函数，判断选项A，根据函数的定义域判断选项B，判断得，从而得函数为偶函数，结合三角函数的性质可判断得该函数不具有最小值，从而判断选项C，根据，得函数为偶函数，再利用基本不等式求解出最小值，即可判断选项D.
【详解】对A，二次函数的对称轴为，
不是偶函数，故A错误；
对B，函数的定义域为，
定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；
对C，，
定义域为，所以函数是偶函数，
结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误；
对D，，定义域为，
所以函数是偶函数，因为，，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以函数有最小值，故D正确.
故选：D
例2．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案．
【详解】，的定义域均为，且,，
所以为奇函数，为偶函数.
由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故排除AB.
当时，，排除C.
故选:D．
练习1．（2023春·北京·高三北京师大附中校考期中）下列函数是奇函数的是（???）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用奇偶性定义判断各项函数的奇偶性.
【详解】显然各项函数的定义域均为R，
，偶函数，A不符合；
，奇函数，B符合；
，非奇非偶函数，C不符合；
，非奇非偶函数，D不符合.
故选：B
练习2．（2023·上海·高三专题练习）函数是（????）
A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】B
【分析】求出定义域，根据函数奇偶性的定义判断即可.
【详解】由函数可知，定义域为关于原点对称，又，故函数为内的偶函数.
故选：B
练习3．（2023·北京海淀·统考二模）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可由选项逐一判断.
【详解】对于A,的定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误，
对于B，的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，但在单调递减，故B错误，
对于C，的定义域为,关于原点对称，又，故为偶函数，故C错误，
对于D，由正切函数的性质可知为奇函数，且在单调递增，故D正确，
故选：D
练习4．（2023春·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）下列函数在其定义域内既是严格增函数，又是奇函数的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据初等函数的单调性和奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数在定义域上不是严格的单调函数，不符合题意；
对于B中，函数的定义域为，所以为非奇非偶函数，不符合题意；
对于C中，函数，可得，
所以函数不是奇函数，不符合题意；
对于D中，函数，在定义域上严格的单调递增函数，
且，所以函数为奇函数，符合题意.
故选：D.
练习5．（2023·海南·校联考模拟预测）函数的大致图象是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性证明函数为偶函数；分别求出，利用排除法，结合选项即可求解.
【详解】函数的定义域为，关于原点对称，
，
则函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C；
又，故排除AB，D符合题意.
故选：D.
题型二 利用奇偶性求函数值或参数值
例3．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）若为奇函数，则（????）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用奇函数的定义，对分类讨论即可得解.
【详解】因为函数为奇函数，所以的定义域关于原点对称.
若，则的定义域不关于原点对称，
所以的定义域为且，
所以，解得.
所以，定义域为.
令，得，故，
此时经检验，为奇函数.
故选：C.
例4．（2023春·河北保定·高三保定一中校考期中）已知函数且，则的值为__________
【答案】
【分析】由函数的解析式发现，它是由一个奇函数加一个常数的形式，再注意到已知的函数值和要求的函数值，它们的自变量互为相反数，所以可以直接代入利用奇函数的性质求解.
【详解】因为，所以，
所以，
所以
?????????????，
故答案为：.
练习6．
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