2025版高考数学全程一轮复习课前预备案第二章函数第二节函数的单调性与最值.docxVIP

第二节函数的单调性与最值

必备知识

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

定义

设函数f(x)的定义域为I，区间D?I：如果?x1，x2∈D

当x1x2时，都有________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增

当x1x2时，都有________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减

图象描述

自左向右看图象是________的

自左向右看图象是________的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上________或________，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M(m)

条件

(1)对于任意x∈I，都有________；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

(3)对于任意x∈I，都有________；

(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝m

结论

M为最大值

m为最小值

【常用结论】

1．?x1，x2∈D且x1≠x2，有fx1-fx2x1-x20(0)或(x1－x2)[f(x1)－f(

2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．

3．函数y＝f(x)(f(x)0或f(x)0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f

夯实基础

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪

(2)对于函数y＝f(x)，若f(1)＜f(3)，则f(x)为增函数．()

(3)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数．()

(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．()

2．(教材改编)下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是()

A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x

C．f(x)＝－1x+1 D．f(x)＝－|x

3．(教材改编)已知函数f(x)＝2x-1，x∈[2，6]，则f(x

4．(易错)函数f(x)＝1-x1+x

A．(－∞，－1)

B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1)，(－1，＋∞)

D．(－∞，－1)∪

5．(易错)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a＝________．

第二节函数的单调性与最值

必备知识

1．(1)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)上升下降

(2)单调递增单调递减

2．f(x)≤Mf(x)≥m

夯实基础

1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×

2．解析：对于A，一次函数f(x)＝3－x在R上单调递减，故该选项不符合题意；对于B，二次函数f(x)＝x2－3x的图象的对称轴是x＝32，函数在(0，32)上单调递减，故该选项不符合题意；对于C，f(x)＝－1x+1是由反比例函数y＝－1x向左平移1个单位得到的，因为y＝－x1在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－1x+1在(－1，＋∞)上单调递增，故该选项符合题意；对于D，f(x)＝－|x|，当x＞0时，

答案：C

3．解析：易知函数f(x)＝2x-1在x∈

故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝25

答案：22

4．解析：f(x)＝1-x1+x＝-1+x+2

又f(x)＝2x在(－∞，0)和(0，＋∞

由函数的图象平移可知，

f(x)＝1-x1+x的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞

故选C.

答案：C

5．解析：因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)的图象对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.

答案：－3