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《正弦定理》突破提高

突破1利用正弦定理判断解的情况或已知解的个数求边长的取值范围

已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角,通常用正弦定理解这类问题,但可能会出现多解的情况.如已知两边及其中一边的对角,由求角时,可能有一解、两解或无解的情况,如何判断解的情况呢?其判断方法有两种.

方法一:如表,过点作的垂线,根据边与边上的高的大小关系来判断解的个数.

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

或

解的个数

一解

两解

无解

一解

无解

方法二:由正弦定理得,若,则无解;若,则一个解;若,则由三角形“大边对大角”来确定角的范围,从而判断解的情况.

【例5】在中,已知内角所对的边分别为,判断解的情况并解三角形.(角度精确到,边长精确到.参考数据:)

解:方法一∵有两个解.由,即,得.∵或.

当时,;当时,.

方法二:由正弦定理,得.∵.

由,得或.

当时,;当时,.

∴有两个解,或.

突破2判断三角形的形状

判断三角形形状时,能化简的先化简,再从两个方向进行变形:一个方向是角,走三角变形之路,主要是应用正弦定理;二个方向是边,通常是正弦定理和余弦定理综合应用,同时注意应用三角形内角的关系,如等.

讨论三角形解的个数时应抓住两点:一是其正弦值与“1”的大小关系,从而决定正弦值对应的角是否存在;二是由此正弦值所确定的角(在内)的个数,它们与已知角的和是否小于等于.

应用正弦定理将表达式转化为角的关系

【例1】在中,若,则的形状是________.

分析:由正弦定理边角互化得,进而整理得的值,得到的大小,即可得答案.

解析:因为,所以由正弦定理得,即.由于在中,,所以.因为,,所以,所以.又因为,所以,即为直角三角形.

答案:直角三角形

应用余弦定理将表达式转化为边的关系

【例2】在中,内角的对边分别为,判断分别满足下列条件的三角形的形状.

(1).

(2).

分析:(1)条件中的角为特殊角,应用余弦定理可发现三角形各边之间的关系.

(2)根据余弦定理,将条件中的用边表示出来,这样便可化角为边,求出三条边之间的关系式.

解:(1)由余弦定理得,可得,∴.

由及可知为等边三角形.

(2)由及余弦定理,知,

化简得,即或或(舍去),因而为等腰三角形或直角三角形.

应用正弦定理将表达式表示为边的关系,再应用余弦定理,判断三角形的形状

【例3】在中,若,则的形状是()

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.直角三角形 D.不能确定

解析:设中的内角所对的边分别为.由及正弦定理,得.由余弦定理,得,所以为钝角,故一定是钝角三角形.

答案:C

突破3正弦定理、余弦定理与其他知识的综合应用

应用正弦定理、余弦定理解决三角形的综合问题的关键在于充分应用正弦定理、余弦定理中的边角关系可以相互转化这一功能.常见的综合问题有:正弦定理和余弦定理与平面向量、三角函数、三角恒等变换的综合交汇问题.

【例4】已知函数,其中.

(1)求的单调递增区间;

(2)在中,内角所对的边分别为,且向量,与共线,求边长和的值.

解:(1)由题意知.∵在上单调递增,

∴令,得,

∴的单调递增区间为.

又

向量与共线,∴,由正弦定理得.

【本节与高考】

正弦定理是高考的重点,若解答题的第一题没有考查,则选择题或填空题中定要考查题一难度为中低档.常考题型：(1)解三角形或求指定角的三角函数值；(2)判断三角形的形状；(3)求三角形的面积；(4)解三角形与其他知识相交汇,如平面向量、三角函数、三角恒等变换等.