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洛阳一高英才部2025级英才班数学月考试卷
2024年10月
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷(选择题)
一、单选题(每小题3分,共30分,下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的)
1.我国民间建筑装饰图案中,蕴含着丰富的数学之美.下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可.
解:A.该图形是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确;
B.该图形不是轴对称图形,但是中心对称图形,故此选项错误;
C.该图形不轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项错误;
D.该图形轴对称图形,但不是中心对称图形,故此选项错误.
故选:A.
【点睛】本题考查了对称图形的定义和中心对称图形的定义,在平面内,一个图形绕某点旋转180°后能与原来的图形重合,这个图形叫做中心对称图形;一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能重合,这样的图形叫做轴对称图形.理解这两个概念是关键.
2.一元二次方程化为的形式,正确的是()
A. B. C. D.以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】先把常数项1移到等号的右边,再把二次项系数化为1,最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方,然后配方即可.
解:∵2x2-3x+1=0,
∴2x2-3x=-1,
,
,
,
∴一元二次方程2x2-3x+1=0化为(x+a)2=b的形式是:,
故选:A.
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程,配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
3.如图,若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到,则可以作为旋转中心的是()
A.M或O或N B.E或O或C C.E或O或N D.M或O或C
【答案】A
【解析】
试题分析:若以M为旋转中心,把正方形ABCD顺时针旋转90°,A点对应点为H,B点对应点为E,C点对应点为F,D点对应点为G,则可得到正方形EFGH;
若以O为旋转中心,把正方形ABCD旋转180°,A点对应点为G,B点对应点为H,C点对应点为E,D点对应点为F,则可得到正方形EFGH;
若以N为旋转中心,把正方形ABCD逆时针旋转90°,A点对应点为F,B点对应点为G,C点对应点为H,D点对应点为E,则可得到正方形EFGH.
故选A.
4.如图,为等边三角形,以为边向外作,使,再以点C为旋转中心把旋转到,则给出下列结论:①D,A,E三点共线;②平分;③;④.其中正确的有().
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】
【分析】①设∠1=x度,把∠2=(60-x)度,∠DBC=∠4=(x+60)度,∠3=60°加起来等于180度,即可证明D、A、E三点共线;
②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE,判断出△CDE为等边三角形,求出∠BDC=∠E=60°,∠CDA=120°-60°=60°,可知DC平分∠BDA;
③由②可知,∠BAC=60°,∠E=60°,从而得到∠E=∠BAC.
④由旋转可知AE=BD,又∠DAE=180°,DE=AE+AD.而△CDE为等边三角形,DC=DE=DB+BA.
解:如图,
①设∠1=x度,则∠2=(60-x)度,∠DBC=(x+60)度,故∠4=(x+60)度,
∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度,
∴D、A、E三点共线;故①正确;
②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE,
∴CD=CE,∠DCE=60°,
∴△CDE为等边三角形,
∴∠E=60°,
∴∠BDC=∠E=60°,
∴∠CDA=120°-60°=60°,
∴DC平分∠BDA;故②正确;
③∵∠BAC=60°,
∠E=60°,
∴∠E=∠BAC.故③正确;
④由旋转可知AE=BD,
又∵∠DAE=180°,
∴DE=AE+AD.
∵△CDE为等边三角形,
∴DC=DB+DA.故④正确;
故选:D.
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识,要注意旋转不变性,找到变化过程中的不变量.
5.如图,在中,,,.点在上,且.连接,将线段绕点顺时针旋转得到线段,连接,.则的面积是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】证明,得到,推出为直角三角形,利用的面积等于,进行求解即可.
详解】解:∵,,
∴,,
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段,
∴,,
∴,
在和中,
,
∴,
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