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广东省九校2025届高三上学期9月联合教学质量检测数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=xx2?1≥0,集合B=x
A.xx≥1 B.x?1x1 C.x?1x≤1
2.已知平面向量m,n满足:m=n=2,且m在n上的投影向量为12n,则向量
A.30° B.60° C.120°
3.已知相互啮合的两个齿轮,大轮有45齿,小轮有30齿.如果大轮的转速为180r/min(转/分),小轮的半径为10cm,那么小轮周上一点每1s转过的弧长是(????)cm.
A.5400π B.90π C.180π D.40π
4.为了协调城乡教育资源的平衡,政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教(每所学校至少安排一名教师).受某些因素影响,甲乙教师不被安排在同一所学校,丙教师不去往希望中学,则不同的分配方法有(????)种.
A.144 B.260 C.320 D.540
5.已知数列an满足an+1=23an+4
A.an=12?23n?1 B.an
6.如图所示,在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中,M为A1C1
A.12a?12b+c
7.已知Sn是数列bn的前n项和,若1?2x2025=a0+a1x+a
A.3?3?21012 B.?2?3?21012 C.
8.已知函数f(x)=lnx?mx2+x,若不等式f(x)0的解集中恰有两个不同的正整数解,则实数
A.2+ln28,3+ln39
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家,他发明的公式为eix=cosx+isinx,i虚数单位,将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式也被誉为“数学中的天桥”(e为自然对数的底数,i
A.复数eiπ2为纯虚数 B.复数ei3对应的点位于第二象限
C.复数eiπ3的共轭复数为
10.已知a,b为正实数,且a1,b1,ab?a?b=0,则(????)
A.ab的最大值为4 B.2a+b的最小值为3+22
C.1a?1+1b?1的最小值为
11.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线交x轴于点D,直线l经过F且与C交于A,B两点,其中点A在第一象限,线段AF的中点M在y轴上的射影为点N.若MN=
A.l的斜率为3 B.?ABD是锐角三角形
C.四边形MNDF的面积是3p
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知数列an的首项为1,an+1=n+2nan+cos
13.已知直线l与双曲线x24?y23=1交于A、B两点,且弦AB的中点为M
14.一段路上有100个路灯L1,L2,?,L100一开始它们都是关着的,有100名行人先后经过这段路,对每个k∈1,2,3,?,100,当第k名行人经过时,他将所有下标为k的倍数的路灯Lk
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c2
(1)求A;
(2)若b=4,sinB+cosB=
16.(本小题12分)
足球比赛积分规则为:球队胜一场积3分,平一场积1分,负一场积0分.常州龙城足球队2024年10月将迎来主场与A队和客场与B队的两场比赛.根据前期比赛成绩,常州龙城队主场与A队比赛:胜的概率为23,平的概率为16,负的概率为16;客场与B队比赛:胜的概率为13,平的概率为
(1)求常州龙城队10月主场与A队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分的概率;
(2)用X表示常州龙城队10月与A队和B队比赛获得积分之和,求X的分布列与期望.
17.(本小题12分)
如图,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB//CD,PQ//CD,AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,点E,F,M
(1)求证:EF//平面CPM
(2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小;
(3)若N为线段CQ上的点,且直线DN与平面QPM所成的角为π6,求N到平面CPM的距离.
18.(本小题12分)
已知点P1t+1,t在抛物线C:x2=4y上,按照如下方法依次构造点Pnn=2,3,4?,过点Pn?1作斜率为?1的直线与抛物线C交于另一点Qn?1,令P
(1)求t的值;
(2)求证:数列xn是等差数列,并求x
(3)求?Pn
19.(本小题12分)
已知fx是定义在区间?1,1上的奇函数,且f1=1,若m、n∈?1,1,
(1)证明函数fx在?1
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