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2024-2025学年天津中学高三(上)第一次月考数学试卷
一、单选题:本题共9小题,每小题5分,共45分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|3x+12},B={y|y=x2?3},则A∩B=
A.(?∞,13) B.[?3,13)
2.设a,b∈R,则“a3b3”是“3
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.下列函数中,既是奇函数又在其定义域上是增函数的是(????)
A.f(x)=2ex?e?x B.f(x)=
4.已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为(????)
A.f(x)=ex?e?xx
B.f(x)=sin2x?ln
5.已知a=2log2
A.abc B.bac C.cab D.acb
6.若tanθ=2,则sinθ(1+sin2θ)2cos
A.25 B.?25 C.6
7.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若B=π3,b2=9
A.32 B.2 C.7
8.将f(x)=cos2x的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象,则下列结论正确的是(????)
A.g(x)的最小正周期为2π B.g(x)的图象关于x=π3对称
C.π4是g(x)的一个零点 D.[
9.已知AB⊥AC,|AB|=1t,|AC|=t
值等于(????)
A.13 B.15 C.19 D.21
二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分。
10.复数z=1?i|1?i|+i的实部为______.
11.(x3?
12.计算:(14)
13.已知x,y是正实数,且关于x,y的方程x+y=
14.如图,在△ABC中,AB=2,AC=5,cos∠CAB=35,D是边BC上一点,且BD=2DC.若BP=34AD,记PD=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λ+μ=
15.若函数f(x)=2x2?2ax?|2ax?2|+1
三、解答题:本题共5小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
在△ABC中,cosB=916,b=5,ac=23.
(1)求a;
(2)求sinA;
17.(本小题15分)
如图,在多面体ABCDEF中,AD//BC,AF//BE,AB⊥AF,AD⊥平面ABEF,AD=AB=2,AF=4AG=4,BC=BE=1.
(Ⅰ)求证:直线BG//平面DCE;
(Ⅱ)求平面DBF与平面DCE夹角的余弦值;
(Ⅲ)求点E到平面DBF的距离.
18.(本小题15分)
在△ABC中,角A,B,C对应边a,b,c,外接圆半径为1,已知2(sin2A?sin2C)=(a?b)sinB.
(1)证明:a2+b2?c2=ab;
(2)
19.(本小题15分)
已知函数f(x)=x(1?mlnx),m∈R.
(1)当m=1时,求f(x)在x=1处的切线方程;
(2)讨论f(x)的极值;
(3)若不等式f(x)≤xlnxx?1在(1,+∞)上恒成立,求m的取值范围.
20.(本小题16分)
已知函数f(x)=2lnx+1x?ax,a∈R.
(1)讨论函数g(x)=xf(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,
①求a的取值范围;
②证明:
参考答案
1.B?
2.C?
3.B?
4.B?
5.C?
6.C?
7.C?
8.B?
9.A?
10.2
11.?4?
12.18?
13.[
14.?34?34
15.(?
16.解:(1)在△ABC中,cosB=916,b=5,ac=23,
由题意可设a=2k,则c=3k,k0,
所以cosB=a2+c2?b22ac=9k2+4k2?252×3k×2k=916,
解得k=2,
所以a=4;
(2)由(1)可得a=4,c=6,
sinB=1?cosB2=1?(916)2
17.解:(Ⅰ)证明:如图所示,以A为坐标原点,AF,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则B(0,2,0),E(1,2,0),C(0,2,1),D(0,0,2),G(1,0,0),
∴BG=(1,?2,0),EC=(?1,0,1),ED=(?1,?2,2),BG=(1,?2,0),
设平面DCE的法向量为n=(x,y,z),
则n?EC=?x+z=0n?ED=?x?2y+2z=0,
令x=2,得n=(2,1,2),
∴BG?n=1×2+(?2)×1+0×2=0,
∴BG⊥n,
又∵BG?平面DCE,
∴直线BG/?/平面DCE;
(Ⅱ)F(4,0,0),∴BF=(4,?2
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