《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》同步学案(教师版).docxVIP

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《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》同步学案

情境导入

从生活经验中我们知道,不能将橘子皮展开成平面,因为橘子皮近似地看作球形,这种曲面不能展开成平面图形.古人在计算圆周率时,一般用割圆术,即用圆的内接或外接正多边形来逼近圆的周长.理论上,只要取的圆内接正多边形变数越多,圆周率就越精确,直到无穷,这种思想方法就是朴素的极限思想.另外,我们了解了古人的数学成就祖暅原理,运用这些思想,我们能进行球的体积和表面积的探求吗?

自主学习

自学导引

1.圆柱的表面积公式:____________(是底面半径,是母线长).

2.圆锥的表面积公式:____________(是底面半径,是母线长).

3.圆台的表面积公式:____________是分别是上、下底面半径,是母线长).

4.圆柱的体积公式:____________(是底面半径,是高).

5.圆锥的体积公式:____________(是底面半径,是高).

6.圆台的体积公式:____________是分别是上、下底面半径,是高).

7.如果球的半径为,则它的表面积是____________,体积是____________

答案

预习测评

1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的表面积是()

A.

B.

C.

D.

2.直径为6的球的表面积和体积分别是()

A.

B.

C.

D.

3.如图所示,圆台的上、下底面半径和高的比为,母线长为10,则圆台的表面积为()

A.

B.

C.

D.

4.已知圆锥的高为4,体积为,则底面半径为______.

答案

1.

解析:.

2.D

解析:球的半径为.

3.D

解析:圆台的轴截面如图,设上底面半径为,则下底面半径为,高为.因为母线长为10,所以在轴截面等腰梯形中,有.解得,所以

4.

解析:设底面半径为,则,解得,即底面半径为.

新知探究

探究点1圆柱、圆锥、圆台的表面积

知识详解

图形

表面积

旋转体

圆柱

底面积:

侧面积:

表面积:

圆锥

底面积:

侧面积:.

表面积:

圆台

上底面面积:

下底面面积:

侧面积:

表面积:

典例探究

例1圆台的上、下底面半径分别为和.它的侧面展开图扇环的圆心角为,那么圆台的表面积是________(结果中保留).

解析:如图所示,设圆台的上底面周长为.

因为扇环的圆心角是,故,所以,同理可得,所以20,所以.故圆台的表面积为.

答案:

变式训练1一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是()

A.

B.

C.

D.

答案:A

解析:设圆柱的母线长为,底面半径为,则,所以,则圆柱的表面积为,侧面积为,所以圆柱的表面积与侧面积的比是.

探究点2圆柱、圆锥、圆台的体积

知识详解

几何体

体积

柱体

(为底面积,为柱体高),

(为底面半径,为高

锥体

(为底面积,为维体高),

为底面半径,为高

台体

分别为上、下底面面积,为台体高),

分别为上、下底面半径,为高)

典例探究

例2已知圆台的高为3,在轴截面中,母线与底面圆直径的夹角为,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.

解析:通过作轴截面,将空间问题平面化,利用平面几何知识可求出圆台上、下底面半径,进而利用公式计算即可.

答案:如图所示,作轴截面,设圆台的上、下底面半径和母线长分别为,高为.作于点,则.

因为,所以,

即,所以.

又,所以,

所以,即,

所以,所以,

而,所以.

所以圆台的体积为.

变式训练2已知的三边长分别是,,以所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积分别为____和______.

答案:

解析:如图,在中,过作,垂足为.

由,知,则.

因为,所以.

易知以所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥,且底面半径,母线长分别是,

所以,.

所以,所得旋转体的表面积是,体积是.

探究点3球的表面积和体积

知识详解

1.球的表面积.

设球的半径为,则球的表面积是.

2.球的体积.

设球的半径为,则球的体积是.

[特别提示]

1.一个关键:把握住球的表面积公式,球的体积公式是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件.把握住公式,球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.

2.两个结论:(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方.

(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方.

典例探究

例3若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,求圆锥侧面积与球表面积之比.

解析:通过已知条件将圆锥的底面半径、母线长以及球的半径全都用圆锥的高来表示,然后