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函数不等式证明的几种常见方法

[摘要]高等数学中，函数不等式的证明是考试中常见的题型，本文介绍了不

等式证明的几种常见方法。

[关键词]函数不等式微分中值定理单调性

有关函数不等式证明题目虽然千变万化，但解题方法主要有以下几种。

一、应用拉格朗日中值定理证明不等式

拉格朗日中值定理：如果函数y=f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）

在开区间（a,b）内可导，则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得：f(b)-f(a)=f(ξ)(b-a)。

应用拉格朗日中值定理可以证明某些函数不等式。具体解题步骤可分为：

1.根据所要证明的不等式作一辅助函数以及相应的闭区间。

2.说明辅助函数在闭区间上满足拉格朗日中值定理的条件，便得到一个含ξ

的不等式。

3.根据ξ的范围，适当放大或缩小ξ的值，即可得到所要证明的不等式。

下面我们就通过具体的题目来说明用拉格朗日定理证明不等式的解题过程。

【例1】求证：若x＞0,有x1+x＜1n(1+x)＜x

解析：作辅助函数y=1n(1+x)，区间［0,x］，

易知y=ln(1+x)在［0，x］上满足拉格朗日中值定理条件，有f′(x)=11+x

由拉格朗日中值定理得:存在一点ξ满足ln(1+x)-ln(1+0)=11+ξxξ∈（0，x），

即ln(1+x)=x1+ξ,0＜ξ＜x.

而x1+x＜x1+ξ＜x1+0，故x1+x＜ln(1+x)（1+x）＜x(x＞0).

【例2】当x＞0时,证明不等式:x＜ex-1x＜ex

解析:作辅助函数f(x)=ex,区间［0，x］

显然f(x)在区间［0，x］(x＞0)内连续且可导.有f′(x)=ex.

由拉格朗日中值定理得:存在一点ξ满足ex-e0x-0=eξ.

而e0＜eξ＜ex,故有1＜ex-e0x-0＜ex.

所以x＜ex-1＜xex.

说明：（1）一般的双向不等式可以考虑用拉格朗日中值定理证明；（2）构造

辅助函数的一般方法。

二、利用函数的单调性证明不等式

利用函数的单调性证明不等式的方法是：先将不等式两边的分析式移到不等

式的一边，使不等式变成(…)＞0的形式，再令此不等式的左边函数为f(x),于是

问题就变成证明在x的变化区间内f(x)＞0。要证明f(x)＞0，只需证明下面两点：

1.f(x)在x的变化区间内单调增加（或单调减少），即证明f′(x)＞0（或f′(x)

＜0）；

2.当x趋向于其变化区间的左端点（或右端点）时，f(x)的右极限（或左极

限）x≥0。

【例1】试证：当x＞0时，arctanx+1x＞π2.

证明：构造函数f(x)=arctanx+1x-π2，

有，所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递减，又因为，

所以

即有arctanx+1x-π2＜0，

故当x＞0时，arctanx+1x＞π2成立.

【例2】求证：x≠0时，ex＞1+x

证明：作辅助函数f(x)=ex-1-x(-∞,0)∪(0,+∞)

f′(x)=ex-1

当x＞0时，f′(x)＜0，f(x)单调递增，f(x)＞f(0)

又因为f(0)=0

所以ex-1-x＞0，即ex＞1+x

当x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，f(x)＞f(0)

又因为f(0)=0

所以ex-1-x＞0，即ex＞1+x

综上x≠0时，ex＞1+x

说明：一般的单向不等式可考虑用函数的单调性来证明。

三、利用函数的最值证明不等式

令f(x)上连续，则［b,a］存在最大值M和最小值m，那么：m≤f(x)≤M

【例1】设1≤x≤1片,证明12p-1