高等数学(武大社)第三章导数与微分.pptVIP

高 等 数 学

第三章 导数与微分第一节 导数的概念第二节 函数的求导法则第三节 高阶导数第四节 相关变化率第五节 函数的微分

基本要求:了解导数的概念及意义，微分形式的不变性；熟悉微分的定义，导数概念与微分概念的联系与区别；掌握复合函数、隐函数及含参数方程所确定函数的求导运算。重点:导数概念、函数的可导性与连续性的关系；复合函数求导的链式法则；隐函数求导；由参数方程所确定的函数的导数；函数可微性与可导性的关系。难点:导数与微分在几何和物理上的应用。

一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题取极限得第一节 导数的概念

如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即2.切线问题割线的极限位置——切线位置

二、导数的定义定义1

即其它形式

2.右导数:定义2 单侧导数1.左导数:

例1解

关于导数的说明:

步骤:例1解三、求导数举例

例2解更一般地例如,

例3解

例4解

例5解

四、导数的几何意义切线方程为法线方程为

切线方程为法线方程为切线方程为法线方程为

例1解根据导数的几何意义知, 所求切线的斜率为所求切线方程为法线方程为

五、函数可导性与连续性的关系

另一方面,一个函数在某点连续却不一定在该点可导。例如,0

一、函数和、差、积、商的求导法则定理第二节 函数的求导法则

证(3)证(1)、(2)略.

例1解例2解

例3解同理可得

例4解同理可得例5解同理可得

二、复合函数的求导法则定理即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)

证

推广例5解

例6解例7解

例8解例9解

三、隐函数的导数隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

例10解解得

例11解所求切线方程为

例12解

四、反函数的求导法则定理即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

证于是有

例13解同理可得

例14解特别地

五、由参数方程所确定的函数的导数由复合函数及反函数的求导法则得

例15解

所求切线方程为

例16解

例17解

一、高阶导数的概念定义第三节 高阶导数

二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.记作二阶导数的导数称为三阶导数,三阶导数的导数称为四阶导数,

二、高阶导数求法举例例1解

例2解

例3解

第四节 相关变化率

一、微分的定义实例:正方形均匀金属薄片受热后面积的改变量.第五节 函数的微分

定义

定理证 (1)必要性

(2)充分性

例1解

二、微分的几何意义几何意义:(如图)TNPMQ）

三、微分的运算求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式

3.复合函数的微分法则2.函数和、差、积、商的微分法则

例2解例3解

微分形式的不变性

例5解例4解

四、微分在近似计算中的应用1.计算函数增量的近似值例6解

函数的近似计算例7解

常用近似公式证明

例8解

第三章 小结了解导数的概念及意义,微分形式的不变性；熟悉微分的定义,导数概念与微分概念的联系与区别；掌握复合函数、隐函数及含参数方程所确定函数的求导运算。