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《空间点、直线、平面之间的位置关系》能力探究

说明论证能力点、线共面的证明方法

点、线共面问题就是指证明一些点或直线在同一平面内的问题.

(1)证明点、线共面的主要依据

①如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内(基本事实2);

②过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面(基本事实1及推论).

(2)证明点、线共面的常用方法

①纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;

②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面,最后证明平面α,重合;

③反证法.

(3)具体操作方法

方法1:证明几,点共面的问题可先取三点(不共线的三点)确定一个平面,再证明其余各点都在这个平面内.

方法2:证明空间几条直线共面问题可先取两条(相交或平行)直线确定一个平面,再证明其余直线均在这个平面内.

典例1[逻辑推理]如图,在正方体中,点分别是棱,的中点,求证:,,四点共面.

解析:本题考查点共面问题,证明本题可以利用纳入平面法,也可用辅助平面法,如用“纳入平面法”根据题意可以先由点,E,F确定一个平面,再论证点B在确定的平面内即可.

证明:因为,E,F三点不共线,所以,,E,F三点可确定一个平面,设为,由题意可知与DA共面于平面且不平行,故分别延长,DA相交于点G,则平面,如图(2),所以平面.同理,设直线与DC的延长线交于点H,则平面.又因为点G,H均属于平面AC,且由题设条件知点E为的中点且,从而为等腰直角三角形,.同理,又,所以点共线,又因为平面,所以平面.所以四点共面.

说明论证能力点共线的证明方法

点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上.

(1)证明三点共线的依据是基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们还有其他的公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.也就是说若一点是两个平面的公共点,则这个点在这两个平面的交线上.

对于这个基本事实应进一步理解下面三点:

①如果两个相交平面有两个公共点,那么过这两点的直线就是它们的交线;

②如果两个相交平面有三个公共点,那么这三点共线;

③如果两个平面相交,那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上.

(2)证明三点共线的常用方法

方法1:首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知,这些点都在交线上方法.

2:选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在这条直线上.

典例2[直观想象]如图,在正方体中,点分别是棱,,上的点,若与交于点,求证:三点共线.

解析:本题为三点共线的问题,利用基本事实3进行推理论证.要证明三点共线,可先由其中两点确定一条直线,再证明另外一个点在这条直线上,本题通过直观想象利用两个平面相交确定一条公共直线,再证明另一个点也在这条直线上.

证明:因为,所以直线,直线,又因为直线CD,直线AB,平面,平面,M,平面.

所以平面.所以平面.

同理平面.又因为平面平面,所以直线,即三点共线.

说明论证能力线共点的证明方法

线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点

(1)证明线共点的依据是基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们还有其他的公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.也就是说若一个点是两个平面的公共点,则这个点在这两个平面的交线上

(2)证明线共点的思路是先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上的问题.

典例3逻辑推理(2019·江西百强中学单元测试)如图所示,与不在同一平面内,如果三条直线,,两两相交,求证:三条直线交于一点.

解析:本题为三线共点的问题,依据基本事实3进行推理论证.本题是先证明与相交于一点,最后再证明也相交于该点即可.

证明:设与,与,与分别确定平面,,,与的交点为,因为,,,,所以,,即,又,所以,所以,,交于一点.

推测解释能力寻找平面交线的突破口

依据基本事实3,如果两个平面有一个公共点,那么它们必定还有其他公共点,只要找出这两个平面的两个公共点,就找到了它们的交线.因此求两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点.

典例4［直观想象]如图,分别是正方体的棱,的中点,试画出平面与平面的交线.

解析:本题考查空间中平面与平面的相交关系,通过直观想象利用好基本事实3是解题的关键.

解:如图,在平面内,与不平行,分别延长与,则与必相交,设交点为.

因为,,平面,平面,所以平面平面,又平面平面,连接,则平面平