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黑龙江省鹤岗市重点中学2023年高三开年第一考数学试题
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在中,,,,则在方向上的投影是()
A.4 B.3 C.-4 D.-3
2.已知函数,若函数的所有零点依次记为,且,则()
A. B. C. D.
3.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签,如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图(例如:年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、),根据该图,以下结论一定正确的是()
A.年该工厂的棉签产量最少
B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显
C.三年累计下来产量最多的是口罩
D.口罩的产量逐年增加
4.已知集合,,若A?B,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
5.如图,用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为()
A. B. C. D.
6.已知函数满足,当时,,则()
A.或 B.或
C.或 D.或
7.设、,数列满足,,,则()
A.对于任意,都存在实数,使得恒成立
B.对于任意,都存在实数,使得恒成立
C.对于任意,都存在实数,使得恒成立
D.对于任意,都存在实数,使得恒成立
8.《九章算术》中记载,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵中,,,当阳马体积的最大值为时,堑堵的外接球的体积为()
A. B. C. D.
9.点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点,点为的中点,若满足,则动点的轨迹的长度为()
A. B. C. D.
10.若点(2,k)到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k的值是()
A.1 B.-3 C.1或 D.-3或
11.若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
12.记为数列的前项和数列对任意的满足.若,则当取最小值时,等于()
A.6 B.7 C.8 D.9
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知函数,若关于的方程在定义域上有四个不同的解,则实数的取值范围是_______.
14.正四棱柱中,,.若是侧面内的动点,且,则与平面所成角的正切值的最大值为___________.
15.展开式中,含项的系数为______.
16.在平面直角坐标系xOy中,已知A0,a,B3,a+4
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°而成,如图2.已知圆的半径为,设,圆锥的侧面积为.
(1)求关于的函数关系式;
(2)为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积最大.求取得最大值时腰的长度.
18.(12分)如图,已知,分别是正方形边,的中点,与交于点,,都垂直于平面,且,,是线段上一动点.
(1)当平面,求的值;
(2)当是中点时,求四面体的体积.
19.(12分)已知,,
(1)求的最小正周期及单调递增区间;
(2)已知锐角的内角,,的对边分别为,,,且,,求边上的高的最大值.
20.(12分)设函数.
(1)当时,解不等式;
(2)若的解集为,,求证:.
21.(12分)在开展学习强国的活动中,某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组,其中党员学习组有4名男教师、1名女教师,非党员学习组有2名男教师、2名女教师,高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛.
(1)求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数;
(2)记X为选出的4名选手中女教师的人数,求X的概率分布和数学期望.
22.(10分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位
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