高中数学北师大版必修五全册学案第课时基本不等式.pdfVIP

§3基本不等式

第1课时基本不等式

知能目标解读

L理解基本不等式，并掌握基本不等式的几何意义.

2.掌握基本不等式成立的条件；能应基本不等式解决求最值、证明不等式、比

较大小、求取值范围等问题.

3.在使基本不等式过程中，要注意定理成立的条件，在解题时，常采配凑的

方法，创造条件应均值不等式.

重点难点点拨

重点：理解并掌握基本不等式，借助几何图形说明基本不等式的意义，并基本

不等式求最值.

难点：利基本不等式求最值时，等号成立的条件.

学习方法指导

一、基本不等式

1.基本不等式：如果a*都是非负数，那么i2疝，当且仅当a=白时，等号

2

成立，我们称上述不等式为基本不等式.

其中j称为a/的算术平均数，疝称为a*的几何平均数，因此，基本不等

2

式又称为均值不等式.

2.重要不等式：如果那么浮+仔22ab（当且仅当时，取=）.

证明：字+2ab=（a-b）2,

当a时,（皿20；当a=2时,（a功）2=0.

所以（a-b}20,EP/+22ab.

3.基本不等式的几何解释：

基本不等式一种几何解释如下：

以a+A长的线段为直径作圆，在直径上取点C,使过点C作垂直

于直径的弦DD,连结AD、DB,易证则

?2=0.0即CD=4ab.

这个圆的半径为—,显然，它大于或等于CD,即—4ab,

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其中，当且仅当点C与圆心重合，即d司时，等号成立.

以上我们从几何图形中进行了解释，获得了不等式病—(a0,b0).

2

其实质是：在同一圆中，半径不小于半弦，或者直角三角形斜边的一半不小于斜

边上的高.

4.关于宗+加和22疝(ab0)

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2

(1)两个不等式：3+加22a力与i2痣成立的条件是不同的，前者要求

2

a*都是实数，后者则要求为力都是正数.

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如：(-3)+(-4)2x(-3)x(-4)是成立的,

而(-3)；(-4)n(—3)x(-4)是不成立的.

注意：

(1)要在理解的基础上，记准这两个不等式成立的条件.

(2)两个不等式：H+加22a一石都是带有等号的不等式,当且仅当

a=8时取这句话的含义是a=b1,^+^2ab,…2，石中只有等号