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黑龙江省黑河市2023年高三年级月考(三)数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,,,,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则()
A.48 B.63 C.99 D.120
2.已知点(m,8)在幂函数的图象上,设,则()
A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.a<c<b
3.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于轴对称,则的最小值是()
A. B. C. D.
4.数学中的数形结合,也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,曲线恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论:①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2;③曲线C围成区域的面积大于;④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是()
A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④
5.已知,若则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
6.如图,双曲线的左,右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为()
A. B.
C. D.
7.一个四棱锥的三视图如图所示(其中主视图也叫正视图,左视图也叫侧视图),则这个四棱锥中最最长棱的长度是().
A. B. C. D.
8.设命题:,,则为
A., B.,
C., D.,
9.已知函数,且),则“在上是单调函数”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10.已知.给出下列判断:
①若,且,则;
②存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称;
③若在上恰有7个零点,则的取值范围为;
④若在上单调递增,则的取值范围为.
其中,判断正确的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知表示两条不同的直线,表示两个不同的平面,且则“”是“”的()条件.
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
12.已知为坐标原点,角的终边经过点且,则()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上任一点,且的最小值为,则该双曲线的离心率是__________.
14.设等比数列的前项和为,若,,则__________.
15.已知双曲线:(,),直线:与双曲线的两条渐近线分别交于,两点.若(点为坐标原点)的面积为32,且双曲线的焦距为,则双曲线的离心率为________.
16.已知的终边过点,若,则__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知中心在原点的椭圆的左焦点为,与轴正半轴交点为,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明:当时,直线过定点.
18.(12分)随着电子阅读的普及,传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击.某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所示:
根据这9年的数据,对和作线性相关性检验,求得样本相关系数的绝对值为0.243;
根据后5年的数据,对和作线性相关性检验,求得样本相关系数的绝对值为0.984.
(1)如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入,现在有两个方案,
方案一:选取这9年数据进行预测,方案二:选取后5年数据进行预测.
从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析,你觉得哪个方案更合适?
附:相关性检验的临界值表:
(2)某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书,据统计,在该网站购买该书籍的大量读者中,只购买电子书的读者比例为,纸质版本和电子书同时购买的读者比例为,现用此统计结果作为概率,若从上述读者中随机调查了3位,求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.
19.(12分)已知变换将平面上的点,分别变换为点,.设变换对应的矩阵为.
(1)求矩阵;
(2)求矩阵的特征值.
20.(12分)已知数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,证明:.
21.(12分)已知动点到定点的距离比到轴的距离
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