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第04讲方法篇空间角(异面直线所成角+线面角+二面角)问题
题型一:异面直线所成角(定值)
典型例题
例题1.(2024上·四川凉山·高二统考期末)已知四棱锥的底面是边长为4的正方形,,,则直线与所成角的正弦值为(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】利用全等三角形证得,由余弦定理求出,再利用定义法求出直线与所成角的正弦值.
【详解】连结交于,连结,则为的中点,如图,
由底面为正方形,,得,即,
又,则,有,即,
在中,由余弦定理得,则为正三角形,
由,得是直线与所成的角,即,,
所以直线与所成角的正弦值为.
故选:A
例题2.(2024上·广东梅州·高二统考期末)如图,在三棱锥中,是直二面角,,,则异面直线与所成角的余弦值为.
??
【答案】/0.5
【分析】由题意结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质,可得各边的位置关系及数量关系,借助中位线分别作出异面直线与的平行线,可将求异面直线夹角转化为求相交直线夹角.
【详解】由是直二面角,故平面平面,
由,故、,
又平面平面,平面,
故平面,又平面,故,
由,,则,
又,故,
则,
取、、、中点、、、,
连接、、、、,
可得、,,,
故异面直线与所成角与直线与所成角相等,
亦可得,,,
故,则,
故,即为等边三角形,
故,即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为:.
精练核心考点
1.(2024上·北京海淀·高二清华附中校考期末)已知底面边长为2的正四棱柱的体积为,则直线与所成角的余弦为(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据异面直线所成角及余弦定理即可求解.
【详解】如图,连接,则,
正四棱柱的体积为,
则,则,
则为异面直线与所成角,
则,,
故.
故选:D
2.(2024上·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期末)在正方体的棱长为2,为中点,为中点,则异面直线与所成角的余弦值为.
【答案】/
【分析】构造平行线,得到两条异面直线所成的角,解三角形得到所求角的余弦.
【详解】如图:
取的中点,连接,,因为,故即为异面直线与所成的角.
在中,,,
由余弦定理:.
故答案为:
题型二:异面直线所成角(最值+范围)
典型例题
例题1.(2024·全国·高三专题练习)如图:正方体的棱长为2,,分别为棱,的中点,则二面角的余弦值为;若点为线段上的动点(不包括端点),设异面直线与所成角为,则的取值范围是.
【答案】
【分析】设二面角为,利用面积投影法,即可得解;连接,,易知或其补角,设,,在△中,由余弦定理可列得关于的函数关系式,从而得解.
【详解】由正方体的性质知,平面,
设二面角为,则,
二面角的余弦值为.
连接,,
,
或其补角,
设,,
在△中,,,,
由余弦定理知,,
令,则,
,在上单调递增,
,
,.
故答案为:;,.
【点睛】关键点点睛:二面角的求法中有面积法,一个面积为的半平面在另一个半平面上投影面积为,则,是二面角的平面角.
例题2.(2023·全国·高三专题练习)在如图直四棱柱中,底面为菱形,,,点为棱的中点,若为菱形内一点(不包含边界),满足平面,设直线与直线所成角为,则的最小值为.
【答案】
【分析】根据直棱柱的性质以及直线与平面平行的判定定理和平面与平面平行的判定定理可得平面,从而可知点在线段上,可得,求出的最小值即可得到答案.
【详解】取线段,中点,,连结,,.
如图所示:
由于,,所以,因为平面,平面,所以平面,
同理可得平面平面,
又,
故平面平面,故点在线段上.
因为,所以,
故.在中,当时,
取得最小值,故tana的最小值为.
故答案为:
【点睛】本题考查了直线与平面,平面与平面平行的判定定理,考查了异面直线所成的角,属于中档题.
精练核心考点
1.(2023上·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末)如图,在正方体中,动点在线段上,异面直线和所成的角为,则的取值范围是.(用区间表示)
【答案】
【分析】利用,得出,通过线面垂直的判定定理和性质定理可得到,通过几何关系可得到,可知的最小值为与平面所成的角.设的交点为O,则为与平面所成的角.所以的最小值为.的最大值为点在点处,此时.
【详解】连结,
由正方体的性质可得,,所以四边形是平行四边形,
所以,所以异面直线和所成的角即直线与所成的角,
连接的交点为O,过点作直线的垂线,垂足为,
因为平面,平面,
显然,,
又平面,所以平面,
因为平面,所以,,
又因为,平面,所以平面,
又平面,,
易知,所以有,,,可得,
由正方体的性质可知,显然为锐角,所以,得,即,
所以当,即点在上时,此时有最大值为,此时最小为;
显然当点在时,此时有最大值,因
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