微专题08 极值点偏移问题（原卷版）-【高频考点】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（江苏专用）_1_1.docx

微专题08极值点偏移问题

研考题·聚焦关键词

对称化构造解决极值点偏移:

1、和型（或）问题的基本步骤：

①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；

②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，

得与零进行大小比较；

③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；

2、积型问题的基本步骤：

①求导确定的单调性，得到的范围；

②构造函数，求导可得恒正或恒负；

③得到与的大小关系后，将置换为；

④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.

题型一构造函数

例1.（2024·云南昭通·高三统考）已知函数.

（1）讨论的单调区间；

（2）已知在上单调递增，且，求证：.

变式:（2024·山西晋城·高三统考）已知函数．

（1）若恒成立，求的取值范围；

（2）若有两个零点，证明：．

例2.（2023·高三校考）已知是函数的导函数．

（1）讨论方程的实数解个数；

（2）设为函数的两个零点且，证明：．

变式:（2024·高三校考）设函数.

（1）若，求函数的最值；

（2）若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.

对数平均数算术平均数平方平均数,简记为:调几对算方.

证明：证法1

(比值代换)令t=ab1

?tt

证法2

(主元法)不妨设a

记f(a)=ln?a-ln?b-ab+ba,a∈(b,+∞)

证法3(构造函数法)

先证:ab

要证aba-bln?a-ln?b,只需证ln?a-ln?b=a-bab?ln?ab=ab-ba

再证:a

要证a-bln?a-ln?ba+b2,只需证a-ba+bln?a-ln?b2?ab

∴常见等价变形:ln

用对数平均数求证极值点偏移问题的步骤:

(1)根据fx1=

(2)等量关系中如果含有参数,可考虑消参;如果含有指数式,可考虑两边取对数;

(3)通过恒等变形转化出对数平均数,代人对数平均不等式求解.

题型二对数均值不等式

例2.（2024·福建厦门·统考一模）已知函数有两个极值点，．

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：．

变式:（2023·高三校考）已知是实数，函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个相异的零点且，求证：．

巩固能力·突破高分

1.（2023·河南驻马店·高三统考期末）已知函数有两个零点.

（1）求的取值范围；

（2）设，是的两个零点，，证明：.

2.（2024·高三校考）已知函数（其中e为自然对数的底）

(1)若，是的极值点且.若，且.证明：.

3.（2023·高三校考）已知，当时，若有两个极值点，求证：.

4.（2023·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若且，求证：．

5.（2024··高三期初）已知函数，．

（1）求的单调区间；

（2）设是函数的两个极值点，证明：．

6.（2023·高三校考）已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．

(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；

(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：

①；②；③；

请从①②③中任选一个进行证明．

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）