微专题09 隐零点问题（原卷版）-【高频考点】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（江苏专用）_1_1.docx

微专题09隐零点问题

研考题·聚焦关键词

不含参函数的“隐零点”问题的解策略：

已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，

设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围.

题型一不含参函数

例1.（2024·河北邢台·高三统考期末）已知函数．证明：．

变式:（2024·高三校考）已知函数，当时，证明：.

含参函数的“隐零点”问题解题策略：

已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，

设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.

题型二含参函数

例2.（重庆市西南大学附中、重庆育才中学、万州中学拔尖强基联盟2024届高三下学期二月联合考试数学试题）已知函数，其中．

（1）若，求证：在定义域内有两个不同的零点；

（2）若恒成立，求的值．

变式:（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）已知（其中为自然对数的底数）,，求实数的取值范围.

巩固能力·突破高分

1.（2023·高三校考）已知函数.当时，求证在上存在极值点，且.

2.（广东省2024届高三上学期元月期末统一调研测试数学试卷）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；

3.（2024·高三校考）已知函数，其中．讨论的极值点的个数．

4.（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）已知函数．当时，不等式恒成立，求整数的最大值．

5.（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数．

（1）当时，求函数在上的极值；

（2）用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．

6.（浙江省温州市温州中学2024届高三第一次模拟考试数学试题）已知.

（1）若过点作曲线的切线，切线的斜率为2，求的值；

（2）当时，讨论函数的零点个数.

7.（2024·高三校考）已知函数

（1）若1是的极值点，求a的值；

（2）求的单调区间：

（3）已知有两个解，

（i）直接写出a的取值范围；（无需过程）

（ii）λ为正实数，若对于符合题意的任意，当时都有，求λ的取值范围.