《平面与平面垂直的判定》同步学案(学生版) (1).docxVIP

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《平面与平面垂直的判定》同步学案

情境导入

我们知道随手打开一本书,发现每两书页之间所在的平面形成一个角度;修水坝时,为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角度.你发现两平面形成的角有何特点？

自主学习

自学导引

1.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做________.这条直线叫做二面角的________,这两个半平面叫做二面角的________.棱为,面分别为的二面角记作二面角________.有时为了方便,也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点,将这个二面角记作二面角________.如果棱记作,那么这个二面角记作二面角________或二面角________.

2.在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱的射线和,则射线和构成的叫做二面角的________.

3.平面角是直角的二面角叫做________,二面角的平面角的取值范围是________.

4.一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面________.平面和平面垂直,记作________.

5.两个平面互相垂直的判定定理:如果一个平面过另一个平面的________,那么这两个平面垂直.这个定理说明,可以由________垂直证明________垂直.

预习测评

1.从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线,则这两条垂线段所夹的角与二面角的平面角的关系是()

A.互为余角

B.相等

C.其和为周角

D.互为补角

2.对于直线和平面,能得出的一组条件是()

A.

B.

C.

D.

3.长方体的六个面中,与平面垂直的平面有()

A.1个

B.3个

C.4个

D.5个

4.三棱锥的两侧面都是边长为的正三角形,,则二面角的大小为________.

新知探究

探究点1二面角

知识详解

1.定义及相关概念:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.

2.画法及记法(如图所示):

直立式

二面角

平卧式

二面角或或或

3.二面角的平面角:如图,在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱的射线和,则射线和构成的叫做二面角的平面角.即:若有①;②;③,则二面角的平面角是.

[特别提示]

(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,二面角的大小通过其平面角的大小来度量,体现了由空间图形向平面图形转化的思想.

(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角,不是两条直线的夹角,因此,二面角的取值范围是.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

典例探究

例1已知是正方形,是的中点,(如图(1))将和分别沿折起,使与重合,两点重合后记为点(如图(2)),那么二面角的大小为_________.

变式训练1如图,是的直径,垂直于所在的平面,是圆周上的一点,且,则二面角的大小为________.

探究点2平面与平面垂直

知识详解

1.平面与平面垂直:

(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

(2)画法如图所示:

(3)记作:.

2.两个平面互相垂直的判定定理:

文字语言

如果一个平面过另一个平面的垂线,

那么这两个平面垂直

符号语言

图形语言

[特别提示]

(1)该定理可简记为“线面垂直,则面面垂直”.

(2)定理的关键词是“过另一面的垂线”,所以运用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线.

(3)线、面之间的垂直关系存在如下转化关系:线线垂直线面垂直面面垂直,这体现了立体几何问题求解的转化思想,应用时要灵活把握.

典例探究

例2如图,在四棱锥中,底面是菱形,对角线与相交于点平面是的中点.

(1)求证:平面;

(2)求证:平面平面.

变式训练2如图,三棱柱中,侧棱垂直底面,是棱的中点.证明:平面平面.

易错易混解读

例如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面,且,,求二面角的大小.

课堂检测

1.在二面角的棱上任选一点,若是二面角的平面角,则必须具有的条件是()

A.

B.

C.

D.且

2.直线平面平面,则与的位置关系是()

A.平行

B.可能重合

C.垂直

D.相交不垂直

3.若是所在平面外一点,而和都是边长为2的正三角形,,那么二面角的大小为________.

4.如图所示,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是________.

课堂小结