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专题04两条直线的位置关系、距离公式
1.(2023·全国·高二专题练习)若直线与直线的交点在第一象限,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据题意得到交点坐标为,从而得到,再解不等式组即可.
【详解】,即交点为.
因为交点在第一象限,所以.
故选:A
2.(2023秋·高二课时练习)方程组解的个数是(????)
A.0 B.1 C.2 D.无数个
【答案】A
【分析】根据两条直线平行判断解的个数即可.
【详解】因为,所以方程组表示的两条直线平行,则方程组无解.
故选:A
3.(2023·全国·高二专题练习)已知点,,则A,B两点的距离为(????)
A.25 B.5
C.4 D.
【答案】B
【分析】由两点间的距离公式求解即可.
【详解】由两点间的距离公式得.
故选:B.
4.(2023秋·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习)若点在直线上,O是原点,则OP的最小值为(????)
A. B.2 C. D.4
【答案】C
【分析】根据题意,由点到直线的距离公式即可得到结果.
【详解】由题意可知,OP的最小值即为原点到直线的距离,
则.
故选:C
5.(2023·全国·高二课堂例题)已知直线过定点M,点在直线上,则的最小值是(????)
A.5 B. C. D.
【答案】B
【分析】先求定点,再根据点到直线距离求解点到直线上动点距离最小值即可.
【详解】由得,所以直线l过定点,
依题意可知的最小值就是点M到直线的距离,
由点到直线的距离公式可得.
故选:B.
6.(2022秋·广东汕头·高二校考期中)若直线与平行,则间的距离是(???)
A. B. C.4 D.2
【答案】C
【分析】根据直线平行的判定列方程求得,再应用平行线的距离公式求距离即可.
【详解】由题设,则,可得或,
时,,,满足题设;
时,,,显然重合,不满足;
所以,此时,,它们距离为.
故选:C
7.(2023·全国·高二专题练习)已知直线与直线平行,则它们之间的距离是(????).
A.1 B.2 C. D.4
【答案】B
【分析】根据两直线平行求出参数的值,再将直线方程化为、对应系数一致,最后利用距离公式计算可得.
【详解】因为直线与直线平行,
所以,解得,
所以直线,即,即,
所以两平行线之间的距离.
故选:B
8.(2023·全国·高二课堂例题)已知不同的两点与关于点对称,则(????)
A. B.14 C. D.5
【答案】C
【分析】根据中点公式,列出方程,求得的值,进而求得的值.
【详解】因为两点与关于点对称,
可得,即,解得,
所以.
故选:C.
9.(2023秋·高二课时练习)(多选题)若两条直线和的交点在第四象限,则k的取值可以是(????)
A. B. C. D.
【答案】BC
【分析】根据直线过定点,作图分析可得.
【详解】记直线与x轴的交点为,斜率为,
直线所过定点为,
则
由图可知,当,即时,两直线交点在第四象限.
故选:BC
10.(2023·全国·高三专题练习)(多选题)判断下列命题是正确的(???)
A.当直线和的倾斜角相同时,则∥
B.已知两条直线:与:不重合,则是直线∥的必要条件.
C.直线外一点与该点在直线上的投影的距离就是点到直线的距离
D.若点关于直线对称,则直线的斜率等于-,且线段的中点在直线上
【答案】BCD
【分析】对于A,由倾斜角与两直线的位置关系分析判断,对于B,由必要条件的定义结合两直线平行的条件分析判断,对于C,由点到直线的距离的定义判断,对于D,由点关于直线对称的条件分析判断.
【详解】对于A,当直线和的倾斜角相同时,和有可能平行,有可能重合,所以A错误,
对于B,当∥时,成立,所以是直线∥的必要条件,所以B正确,
对于C,直线外一点与该点在直线上的投影的距离就是点到直线的距离,所以C正确,
对于D,若点关于直线对称,则直线的斜率等于-,且线段的中点在直线l上,所以D正确,
故选:BCD
11.(2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中)(多选题)已知,两点到直线:的距离相等,则的值为(????)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】AB
【分析】根据点到直线的距离公式列式求解即可.
【详解】由题意可得:,整理得,
则,解得或.
故选:AB.
12.(2022春·广西桂林·高一校考期末)(多选题)已知点和直线,则点到直线的距离的可能值为(????)
A.2 B. C.3 D.5
【答案】ABC
【分析】根据直线的方程先确定直线所过的定点的坐标,然后判断出点到直线的距离的最大值为,最小值为,即可逐项判断作答.
【详解】直线,
化为,
令解得,
因此直线过定点,
所以当时,点到直线的距离有最大值,
,
将点代入解得,
即当时点在直线上,即,
所以,
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