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《空间直线、平面的垂直》知识拓展

知识要点

1.直线与直线垂直

(1)异面直线所成的角

如图,已知两条异面直线,经过空间任一点分别作直线,我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角(或夹角).

(2)线线垂直

如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线与直线垂直,记作.

2.直线与平面垂直

(1)直线与平面垂直的概念

一般地,如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线与平面互相垂直,记作.直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做垂足.

(2)线面角

如图,一条直线与一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.

(3)线面垂直的判定与性质

判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.

性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.

3.平面与平面垂直

(1)二面角

如图,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.棱为,面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便,也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点,将这个二面角记作二面角.如果棱记作,那么这个二面角记作二面角或二面角.

(2)平面与平面垂直的概念

一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面与垂直,记作.

(3)面面垂直的判定与性质

判定定理:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.

性质定理:两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直.

4.空间中的距离

(1)点到平面的距离

过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.

(2)直线到平面的距离

一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.

(3)平行平面间的距离

如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离

问题1如何理解异面直线所成的角?

提示异面直线所成的角,是指这两条直线经过平移后处于相交位置时所成的锐角或者直角.因此异面直线所成的角的取值范围是.当两条异面直线在空间的位置确定后,它们所成的角的大小也随之确定了.

等角定理是定义异面直线所成的角的理论基础.

问题2如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直?

提示不一定.如图,直线与以及平面内和平行的无数条直线都垂直,但直线平面.直线与平面垂直的判定定理中一定要注意“相交”两字.

问题3如果一条直线与平面内的一条直线不垂直,那么这条直线一定不垂直这个平面吗？

提示正确.由线面垂直的定义知,直线与平面垂直,直线应垂直于平面内的任意一条直线.

问题4平面与平面垂直的判定定理和直线与平面垂直的判定定理有什么联系?

提示可以借助直线与平面垂直判定平面与平面垂直,可将平面与平面垂直问题转化为直线与平面垂直问题,进一步转化为直线与直线垂直问题.

问题5垂直于同一条直线的两个平面平行吗？垂直于同一个平面的两个平面平行吗?

提示垂直于同一条直线的两个平面平行,但是垂直于同一个平面的两个平面不一定平行.如图,平面平面,平面平面,但是平面平面.

问题6对二面角的平面角的理解应注意什么?

提示二面角的平面角的取值范围是.平面角是直角的二面角叫做直二面角,直二面角的两个半平面相互垂直.

(2)构成二面角的平面角的三要素:棱上、面内、垂直.二面角的平面角的大小是唯一确定的,与棱上点的位置无关.

问题7怎样理解平面与平面垂直的性质定理?

提示(1)定理成立的三个条件:两个平面垂直、线在面内、线(面内线)线(两个平面的交线)垂直,结论:线(面内线)面垂直.

(2)定理的实质是由平面与平面垂直判定直线与平面垂直.